NJE HYRJE NE MEKANIKEN NEWTONIANE nga Edward Kluk Dickinson State University,Dickinson ND (Faqja dhe appleti pershtatur nga Bejo Duka, Universiteti i Tiranes, Tirane)

   

       Percaktimi i mases gravitationale dhe si t'i krahasojme forcat
       Ne kete mesim do te analizojme ceshtjen e fameshme te ligjeve te levizjes te Njutonit.Fillimisht do shtjellojme disa ide te reja dhe disa percaktime operative qe lidhen me to. Keto percaktime do te na mundesojne matjen e madhesive te cilat karakterizojne nga ana sasiore idete qe do te shtjellojme.
        Shume kohe para Newtonit njerezit matnin, me anen e dy pjatave simetrike ose ose te balancave me susta, forcat e gravitetit qe terheqin trupat perposhte drejt qendres se Tokes. Matje te tilla beheshin kryesisht per qellime tregetare per te krahasuar sasite e lendes, qe shkencerisht quheshin masa, sipas standarteve te caktuara. Me 1790, Akademia e Shkencave e Parisit vendosi standartin e mases te quajtur 1 kilogram (1 kg) qe perdoret akoma ne System Nderkombetar te Njesive (SI). Nese nje trup i vendosur ne njeren pjate te balances, kerkon ne pjaten tjeter te balances dy cope nga standarti 1 kg per t'u ekuilibruar, atehere masa e tij eshte 2 kg. Gjithashtu, forca e gravitetit qe vepron mbi kete trup eshte dy here me e madhe se forca e gravitetit qe vepron mbi masen standarte 1 kg. Ne gjuhen e perditeshme keto forca jane quajtur pesha dhe procesi i matjes eshte quajtur peshim. Sipas kesaj skeme masat dhe peshat jane proporcionale. Por relacioni ekzakt midis tyre (nje koeficient proporcionaliteti) ende mungon. Ka edhe nje gje tjeter interesante. Nese nje objekt leviz nga siperfaqja e Tokes drejt siperfaqes se nje planeti tjeter, pesha e tij do te jete e ndryshme sepse forca e gravitetit e ushtuar nga planeti mbi objektin do te jete e ndryshme. Megjithate, masa e tij do qendroje e njejte. Psh, objekti prej 2 kg ne nje planet tjeter duhet te ekuilibrohet perseri ne pjatat e balances nga masa standarde 2 kg. Ne kete menyre ideja e mases eshte me e pergjitheshme ses ideja e peshes. Por, duke krahasuar masat e trupve me ane te balancave ne gjithmone futim forcat gravitacionale. Prandaj keto masa duhen quajtur masa gravitacionale, megjithese shpesh nuk e perdorim kete mbiemer per aresye qe do te japim me pas. Tani, perpiquni ta perfytyroni vete perse te gjitha keto ide funksionojne akoma nese perdoret nje balance me suste e mire. Balanca me suste eshte e mire kur susta zgjatet proporcionalisht me forcen qe zbatohet ne te. Vini re se duke perdorur sustat ne mund te krahasojme madhesite e forcave te tjera me madhesite e forcave gravitacionale. Psh, lidhni njerin skaj te nje suste te forte ne tavan dhe zgjateni ate 0.2 m duke e terhequar ate poshte me krahun tuaj. Pastaj, ne vend qe ta terhiqni vete, varni ne te nje sasi mase te tille qe e zgjat susten me 0.2 m. Forca e gravitetit qe vepron mbi kete mase do te jete e njejte me forcen qe ju ushtruat mbi suste.

       Llogaritjet Newtoniane
        Studimet tona mbi levizjen drejtvizore mbi nje plan horizontal pa ferkim, na lejojne te konkludojme se kur trupi lihet i vetem (asnje force nuk ushtrohet mbi trupin ) ai leviz me shpejtesi konstante. Nese trupi qendron ne prehje , kjo shpejtesi konstante eshte zero. Ne mesuam se si t'i krahasojme forcat dhe ne mund te matim madhesite e tyre relative. Dime edhe se forcat ndikojne ne levizjen e trupit. Por nuk dime ndonje relacion sasior midis levizjes se trupit dhe forcave qe zbatohen. Kete relacion e vendos ligji i dyte i Newtonit. Por shpjegimi i ketij ligji behet me i qarte me perdorimin e nje matematike pak me te sofistikuar . Duke e kufizuar diskutimin tone tek levizja 1D e nje prupi pikesor pergjate boshtit x , ne mund te shenojme pozicionin e castit te trupit ne cdo kohet si x(t). Tradicionalisht nje ndryshim i vogel i ndonje variabli shenohet me anen e germes kapitale greke "delta" qe ngjason me nje trekendesh barabrinjes te vogel. Per fat te keq shkrimi ne HTML nuk ma lejoi kete lloj germe. Keshtu qe ne mesimet e mia e zevendesova me D.Rjedhimisht Dt do te paraqiste nje ndryshim te vogel kohe dheDx(t) = x(t) - x(t - Dt) nje ndryshim te vogel te x qe ndodh gjate intervalit te kohes (t, t - Dt). i njejti lloj shenimi do te zbatohet edhe per variablat e tjera qe varen nga koha. Nuk eshte e veshtire te vihet re se   Dx(t) / Dt paraqet ritmin e ndryshimit te pozicionit te trupit ose shpejtesine e trupit. Duke supozuarDt  pozitive, nese  Dx(t) eshte pozitive, shpejtesia eshte pozitive dhe trupi leviz ne kete cast te vecante  t  ne drejtimin pozitiv te boshtit  x. Nese Dx(t) eshte negative atehere shpejtesia eshte negative dhe trupi leviz ne kahen negative te boshtit  x . Kuptimi i qarte i kesaj lloj matematike eshte shume i rendesishem per diskutimin e metejshem.

       Formulimi i ligjit te dyte dhe problemi i mases inerciale
       Sic e kemi vene re tashme nje  ndryshim i shpejtesise se trupit kerkon zbatimin e nje force. Sa me masiv te jete trupi aq me shume force duhet per te shkaktuar te njejtin ndryshim ne shpejtesine e tij. Rezistenca e trupit ndaj ndryshimit te shpejtesise se tij eshte quatur ineretesi e trupit. Verrejme se inertesia e trupit mund te mos kete te beje fare me masen gravitacionale te trupit. Kjo e fundit e shfaq vehten dhe mund te matet vetem nese trupi eshte nen ndikimin e nje force graviatcionale. Inertesia e trupit e shfaq vehten gjithmone ne kuptimin qe shpejtesia e trupit nuk mund te ndryshohet pa veprimin e nje force ose pa shkaktuar nje ndryshim te inertesise se tij. Per thjeshtesi ne do te diskutojme vetem mbi levizje trupash qe kane inertesi konstante. Duke ndjekur arsyetimin e Newton le te futim nje idene e nje madhesie tjeter qe ai e quante sasi te levizjes se trupit. Tashme njihet si impuls i trupit p(t) dhe percaktohet si nje produkt e mases inerciale te trupit m_I dhe shpejtesise se tij v(t).Keshtu mund te shkruajme

Newtoni propozoi qe ritmi i ndryshimit te impulsit Dp(t)/Dt duhet te jete baraz me forcen F(t)qe vepron mbi trupin , e cila mund te shkruhet si

Kjo formule paraqet ligjin e dyte te Newtonit ne formulimin e tij origjinal. Ne shumicen e rasteve ne praktike masa inerciale e trupit eshte konstante , pra ajo nuk varet nga koha. Rjedhimisht

e cila te con tek nje forme me popullore e ligjit te dyte te Newtonit

ku a(t) eshte ritmi i ndryshimit te shpejtesise ose nxitimi i trupit. Eshte mjaft e rendesishme te kuptohet qe ligji i dyte nuk percakton force ose mase inerciale. Por ai e ben te mundur parashikimin e levizjes nese forca, masa inerciale dhe kushtet fillestare te kesaj levizjeje jane te njohura. Nje problem tjeter ende i pazgjidhur paraqet masa inerciale. Formalisht ne kete faze ne nuk dime se si ta matim ate.

        Zgjidhja e problemit te mases inerciale
       Historikisht, verifikimi i ligjit te dyte te Newtonit kerkoi shume vite sepse mungonin teknollogjite e pershtateshme dhe nje matematike mjaft e avancuar. Kujtohuni qe per te formuluar ligjin e dyte te Newtonit u desh te futej nje lloj kalkulimi qe perdoret ne leksionet e analizes matematike. Matematika e avancuar qe u zhvillua me vone ndihmoi qe te konfrontohej ligji i dyte i Newtonit me te dhenat astronomike dhe te konfirmohej korrektesa e tij. Ne verifikimet tona ne do mbeshtetemi kryesisht ne vetite jo te zakoneshme te planetit tone fiktiv sic jane nxitimi gravitacional mjaft i ulet dhe mungesa e ferkimit. Ligji i dyte pershkruan ne menyre korrekte levizjen e nje trupi nese forca rezultante qe vepron mbi te eshte zero. Nje force zero shkakton nje nxitim zero, pra nje shpejtesi konstante. Ne rastin e levizjes se renies se lire  eksperimentet tregojne nje nxitim konstant dhe te njejte per te gjithe trupat g. Mbi siperfaqen e Tokes g eshte rreth 9.8m / s² dhe ne planetin tone fiktiv eshte rreth 0.01 m/ s². Ne te dy rastet, ligji i dyte jep nje force konstante F = m_I g. Nga ana tjeter ne e dime qe ne kete rast eshte F force gravitacionale dhe atehere ajo duhet te jete proporcional me masen graviatcionale te trupit. Rjedhimisht per cdo trup masa inerciale eshte proporcional me masen gravitacionale.Meqenese nuk ka kufizime te tjera mbi masen inerciale eshte shume e pershtatshme qe ta zgjedhim koeficientin e proporcionalitetit 1.Keshtu qe te dy masat do te kene te njejtat njesi dhe te njejtat vlera, por jo domosdoshmerisht natyre te njejte. Qe ketej e ne vazhdim ne do ta heqim indeksin poshte I qe perdorej per masen inerciale.

       "Eksperimenti" verifikues
       Tashme qe ne dime mjaft per ligjine dyte, mund ta verifikojme ate "eksperimentalisht". Mjetet "eksperimentale" jane (shih appletin me lart):

blloku me mase m_Bqe mund te rreshqase mbi nje siperfaqe horizontale pa ferkim,

pjata ku varen masat m_He cila eshte e lidhur me bllokun me ane te nje fijeje pa mase, e cila kalon neper pullexhen,

ne mungese te ferkimit midis pullexhes dhe fijes, pulexha nuk rrotullohet.

       Ju lutemi i ruani te gjitha te dhenat e lidhura me kete "eksperiment" sepse ato do te perdoren edhe per problemet e energjise mekanike.

        Epilog i shkurte
       Ligjet e formuluar nga shkencetaret kane gjithmone kufizimet e tyre. Kjo domethene qe ato zbatohen vetem ne kushte te caktuara dhe nese keto kushte nuk kenaqen, ligji mund te mos funksionoje. Per t'i bere ligjet te funksionojne me sa me pak kushte kufizuese ato duhen pergjithesuar. Nese ligji i dyte i Newtonit do te ishte ekzakt per trupat mbi dhe rreth Tokes ne nuk do te kishim as satelite stacionare dhe as tufane. Shkurtimisht ne do te mesojme rreth kufizimeve te ligjit te dyte.

         Vleresim
         Nese ne kete pike ju mund te zgjidhni problemet e meposhteme:

• Duke perdorur numra cfardo, m_B per nasen e bllokut , m_H  per masen e pjates se varur dhe g per nxitimin gravitacional, te shprehesh me anen e tyre nxitimin e sistemit nga "eksperimenti" yne. Duke perdorur kete rezultat dhe ligjin e dyte te Newtonit mund te gjeni shprehjet e pergjitheshme per forcen totale qe vepron mbi bllok dhe forcen totale qe vepron mbi pjaten e varur. Nese do t'i mblidhnit te dyja sebashku do mernit forcen totale qe vepron mbi sistemin bllok -pjate. Nese rezultati del i njejte me forcen gravitacionale qe vepron mbi pjate dhe ju ta kuptoni pse del i tille, atehere keni arritur sukses.
• Duke analizuar "eksperimentin" tone, ju mund te konkludoni qe pjata shton mbi bllokun force nepermjet fijes . Gjithashtu, blloku ushton force mbi pjaten nepermjet fijes. Perndryshe forca e vetme qe vepron mbi pjaten do te ishte forca e gravitetit dhe pjata do te binte poshte me nxitimin e renies se lire. Ne problemin e meparshem, ju keni gjetur forcen totale qe vepron mbi pjate. Duke hequr prej saj forcen e gravitetit qe vepron mbi pjate, rezultati do te paraqese forcen me te cilen blloku vepron mbi pjaten nepermjet fijes. Cili eshte relacioni midis forces me tecilen pjata vepron mbi bllokun dhe forces me te cilen blloku vepron mbi pjaten?. Ligji i trete i Newtonit pohon se nese nje trup A vepron mbi nje trup B me nje fare force, atehere edhe trupi B vepron mbi trupin A me forcen qe ka madhesi te njejte por drejtim te kundert. Nese e dini qe forcat qe veprojne pergjate nje cope te fijes mund te kene vetem dy drejtime, a funksionon ligji i trete per bllokun dhe pjaten?
• Duke perdorur llogaritjet Newtoniane perfundoni kete me poshte: Dy²(t) = y²(t) - y²(t- Dt) = ... dhe provoni qe ajo eshte e barabarte me [y(t) + y(t + Dt)]Dy(t). Shprehja e fundit per Dt shume te vogja eshte afersisht e barabarte me 2y(t) Dy(t).
• Ligji i pare i Newtonit shpesh formulohet ne kete menyre: Nese forca rezultante qe vepron mbi nje trup eshte zero , atehere ky trup leviz me shpejtesi konstante ose qendron ne prehje. Nese e marrim kete formulim te sakte, atehere a nuk del ai nga ligji i dyte i Newtonit?