Hyrje
       Koncepti i energjisë kinetike dhe asaj potenciale në mekanikë rrjedh nga ligji i dytë i Njutonit. Ai është i fshehur atje dhe për ta nxjerrë në dukje duhet pak matematikë. Për thjeshtësi le të konsiderojmë një objekt me masë  m  që lëviz përgjatë boshtit vertikal të  x-eve nën influencën e forcës gravitacionale konstante  mg. Nëqoftëse boshti i   x -eve është i orjentuar për nga sipër, atëherë ligji i dytë i Njutonit për këtë objekt mund të shkruhet si më poshtë:

Duke shumëzuar të dy anët e tij me shpejtësinë v, e cila është e përcaktuar si  Dx/Dt   ne fitojmë:

Por  v Dv  mund të zëvëndësohet nga  D(v²/2) . Përfitimi i shprehjes së fundit nuk është shumë i vështirë. Duke iu referuar faqes rreth ligjit të dytë të Njutonit kemi

Rezultati i fundit do të thotë se sasia  mv²/2 + mgx për trupin në shqyrtim nuk ndryshon gjatë lëvizjes së tij. Duke përdorur gjuhën fizike ne themi se kjo madhësi është ruajtur. Ky relacion midis  v²  dhe  x  është zbuluar eksperimentalisht në fund të shekullit të shtatëmbëdhjetë nga Whilhelm Laibnic (1646 - 1716) , i cili vuri bazat për idenë e energjisë dhe idenë e ligjeve të ruajtjes (për më shumë informacion rreth këtij subjekti mund të lexoni "Energjia nuk është aftësi për të bërë punë" nga Robert L. Lehrman botuar në "The Physics Teacher", 15, 15, (1973)). Fjala energji për madhësinë  mv²/2 + mgx është propozuar nga Johan Bernuli (1667-1748) në 1717. Më vonë termi i parë i kësaj madhësie, mv²/2, u quajt energji kinetike, dhe termi i dytë,  mgx , u quajt energji potenciale. Shumën e të dy termave tani e quajmë energji mekanike dhe, të qenurit konstant të saj gjatë lëvizjes, e quajmë parim të ruajtjes së energjisë mekanike (ligj). Shënojmë se si Laibnic ashtu dhe Bernuli kanë qenë matematicien të mëdhenjë. Ky fakt tregon përsëri rëndësinë e matematikës për fizikën.

                     Njësitë

      Tre njësitë bazë të mekanikës në sistemin SI janë: kilogrami (kg) për masën, metri (m) për gjatësinë dhe sekondi (s) për kohën. Gjithë njësitë e tjera në mekanikë janë nxjerrë nga përcaktimet e madhësive përkatëse ose nga relacionet bazë në të cilat këto madhësi shfaqen. Duke parë formulimin matematik të ligjit të dytë të Njutonit  ma = F  ne vemë re se njësia bazë e forcës duhet të jetë një produkt i njësisë bazë të masës me njësinë bazë të nxitimit. Rezulton se ajo ka njësi kg m / s², që quhet Njuton dhe shënohet me (N). Krahasimisht për sasinë e lëvizjes, përcaktimi i saj   p = mv na çon në njësinë kg m / s . Kjo njësi nuk ka ndonjë emër apo simbol të veçantë. Njësia bazë e energjisë mund të dalë nga përcaktimi i energjisë kinetike  K = mv²/2 ose energjisë potenciale U = mgh. Në të dy rastet siç edhe duket, ne përfundojmë në njësinë:  kg m² / s². Kjo njësi është quajtur Xhoul (J) për nder të fizikanit anglez Xheims Preskot Xhoul. Shënojmë se për relacionet e njësive aplikohen të njëjtat rregulla algjebrike si për madhësitë e tjera.

      Vërtetimi eksperimental i ligjit të ruajtjes së energjisë mekanike

      Në eksperimentin e lartpërmendur, duke verifikuar ligjin e dytë të Njutonit keni mbledhur të dhëna të cilat mund të përdoren për të verifikuar ruajtjen e energjisë mekanike për sistemin në shqyrtim. Në këtë eksperiment ju keni matur kohët e plota   t  gjatë të cilave janë bërë zhvendosjet e bllokut x = 2 m, 4 m, 6 m, 8 m dhe lartësitë e varjes zvogëloheshin në vlerat h = 6 m, 4 m, 2 m, 0 m. Shpejtësitë e bllokut për secilën prej këtyre zhvendosjeve mund të llogariten nga relacioni   v = at , ku a është llogaritur tashmë si nxitim i bllokut. Meqë blloku përshpejtohet, energjia e tij kinetike rritet, dhe po kështu rritet dhe energjia kinetike e trupit të varur. Meqë shpejtësitë e tyre janë identike, energjia e plotë  është K = (m_B + m_H) v²/2 . Energjia potenciale e bllokut nuk ndryshon sepse ai lëviz në plan horizontal, por energjia potenciale te trupit të varur m_Hgh zvogëlohet sepse ai është duke rënë. Pra energjia e plotë potenciale e sistemit është U= m_Hgh , dhe energjia e plotë mekanike e tij është E = K + U.

      Zgjidhni një bashkësi matjesh të rezultateve tuaja "eksperimentale" për një masë të fiksuar të varur dhe mbushni tabelën e mëposhtëme duke llogaritur shpejtësitë dhe të gjitha energjitë në studim me ndihmën e formulave të diskutuara më sipër.

Analizoni rezultatet tuaja përfundimtare dhe gjeni nëse energjia mekanike e sistemit është ruajtur. Shënojmë se në procedurën tonë "eksperimentale" ne kemi shmangur nevojën e matjeve të shpejtësisë. Kjo shmangje ishte e mundur vetëm sepse ne dinim për këtë rast si varej shpejtësia nga koha.

      Përveç energjisë potenciale gravitacionale ekzistojnë shumë tipe të tjera energjishë potenciale.Një prej tyre është energjia potenciale e elasticitetit, e cila mund të ruhet në sustë. Nëqoftëse një sustë spirale është ngjeshur apo tërhequr, ajo është e aftë të shtyjë apo të tërheq një trup të lidhur me të duke i dhënë atij energji kinetike. Energjia kinetike në këtë rast shfaqet si rezultat i ndryshimit të energjisë potenciale të elasticitetit të sustës. Në këtë ndryshim merr pjesë forca e elasticitetit   F_e  e prodhuar prej sustës që nxiton objektin.

      Për një diskutim sasior të këtij rasti ne duhet të dimë varësinë e    F_e  nga zgjatja   x e sustës. Mënyra më e thjeshtë për të gjetur atë është të varim sustën vertikalisht dhe të vendosim në të disa masa të ndryshme, m . Secila nga këto masa tërhiqet poshtë nga forca gravitacionale   F_g = mg dhe kjo forcë do të zgjasë sustën. Nëqoftëse masa qëndron në prehje, F_g është ekuilibruar nga  F_e  me të njëjtën madhësi, por me kahe të kundërt, duke bërë që forca rezultante mbi masën të jetë zero. Duke matur zgjatjen  x  dhe duke ndërtuar grafikun e varësisë së   F_e  nga x  ne mund të gjejmë një relacion midis tyre. Në fushën e pamjes së applet-it ju mund tëshikoni një masë të varur në një fije. Kjo fije bashkohet me një sustë spirale (e cila nuk është e dukshme në fushën e pamjes) dhe varet në një tavan. Për të marrë të dhënat "eksperimentale" filloni me vlera e dhëna dhe ndryshoni masën duke e rritur me hap 0.05 kg, për të arritur në masën totale 0.40 kg, duke shënuar masat e aplikuara dhe zgjatjet rezultante. Nga ana tjetër llogaritni forcat e aplikuara dhe ndërtoni grafikun e varësisë së forcës kundrejt zgjatjes duke rizbuluar ligjin e Huk-ut për një sustë. Në bazë të këtij ligji zgjatjet janë në përpjestim të drejtë me forcat e aplikuara, pra ne mund të shkruajmë:

ku  k  për një sustë është konstante.   Kjo konstante në grafikun tuaj është pjerrësia e tij. Duke llogaritur këtë pjerrësi ju do të gjeni konstanten e sustës. Shënojmë se ju mund të ndryshoni sustat në applet duke zgjedhur konstanten përkatëse të sustës. Sa më e madhe është konstantja e elasticitetit të sustës, aq më e vogël do të jetë zgjatja e saj nga aplikimi mbi të i së njëjtës forcë.   

      Përveç ligjit të Huk-ut për një sustë, ne jemi në gjendje të bëjmë disa parashikime teorike rreth lëvizjes së një mase të lidhur me një sustë. Për thjeshtësi le të supozojmë se susta ka një masë të neglizhueshme dhe prehet në një sipërfaqe horizontale ku mungon fërkimi. Veç kësaj, njëri skaj i sustës është i fiksuar dhe në skajin tjetër lidhet një trup me masë m . Nëqoftëse masa tërhiqet, susta do të zgjatet dhe lindja e forcës F_e do të tentojë ta kthejë trupin mbrapsh në pozicionin e tij të nisjes (pozicioni i ekuilibrit të qëndrueshëm të sistemit trup-sustë). Nëqoftëse trupi lëshohet do të fillojë të fitojë shpejtësi dhe energji kinetike. Kur arrin pozicionin e ekuilibrit trupi do ta kalojë atë dhe fillon të ngjesh sustën. Në këtë proces trupi do të jetë duke humbur shpejtësinë e tij dhe për pasojë energjinë kinetike derisa ndalon dhe susta e shtyn atë mbrapsh. Ky diskutim cilësor sugjeron se kemi të bëjmë me një lëvizje lëkundëse të trupit. Për të marrë një vlerësim sasior të situatës, supozojmë se relacioni F_e = k x  është i vlefshëm gjithashtu dhe kur susta është ngjeshur. Kjo do të thotë se ai është i vlefshëm si për vlera pozitive (zgjatje të sustës), ashtu dhe për vlera negative (ngjeshje të sustës) të x -it. Atëherë ligji i dytë i Njutonit për trupin do të shkruhet si më poshtë:

Shenja negative në anën e djathtë pasqyron faktin se trupi është gjithmonë i tërhequr apo i shtytur nga susta drejt pikës me   x = 0 , pra pika e ekuilibrit. Kjo do të thotë se, nëqoftëse objekti është në x = 0  dhe nuk ka energji kinetike, ai do të qëndrojë atje. Duke shumëzuar relacionin e mësipërm me  v, duke bërë një rirenditje dhe duke përdorur përcaktimin e shpejtësisë v  (v = Dx/Dt) ne fitojmë:

e cila do të thotë se shpejtësia e ndryshimit të  mv²/2 + kx²/2 duhet të jetë zero. Pra kjo shprehje qëndron konstant. Ne e dimë që termi i parë i kësaj shprehje paraqet energjinë kinetike të objektit. Kështu termi i dytë duhet të paraqes një energji potenciale të lidhur me sustën. Mbi të gjitha ajo varet nga konstantja e elasticitetit të sustës  dhe është e lidhur me forcën elastike F_e. Kjo lloj energjie është quajtur  energji potenciale e elasticitetit.

      Çfarë do të ndryshojë, nëqoftëse sistemi sustë-trup është i varur në një suport vertikalisht? Në këtë rast përveç energjisë potenciale të elasticitetit do të shfaqet dhe energjia potenciale gravitacionale. Ligji i dytë i Njutonit në këtë rast do të shkruhej në formën:

Duke bërë të njëjtat veprime si më sipër, këtë herë do të gjejmë rezultatin:

i cili tregon përsëri se energjia e plotë mekanike e sistemit ruhet. Këtë herë megjithatë përveç energjisë kinetike dhe energjisë potenciale të elasticitetit kemi të bëjmë gjithashtu me energjinë potenciale gravitacionale të paraqitur nga termi mgx .

      Një verifikim i saktë eksperimental i ligjit të ruajtjes së këtyre energjive mekanike nuk është tepër i thjeshtë, sepse ne nuk dimë se si shpejtësia e objektit varet nga koha dhe ne duhet ta matim atë. Për të bërë këtë, ne duhet të jemi të aftë të matim intervale kohorë shumë të shkurtër dhe distanca shumë të vogla, të cilat pa metoda të sofistikuara eksperimentale janë të pamundura. Nëqoftëse ne mund të aplikojmë më shumë matematikë, do të jemi në gjendje të njohim që ligji i dytë i Njutonit në formën   mDv/Dt = - kx - mg është një ekuacion diferencial për  x  si funksion i   t , dhe ky ekuacion zgjidhet duke gjetur se si varet saktësishtë   x  nga t . Prandaj mungesa e teknologjisë shumë të avancuar dhe e matematikës shumë të sofistikuar pengojnë dhe vonojnë progresin tonë. Por ne tashmë jemi të aftë të gjejmë "eksperimentalisht" si varet x  nga  t  dhe mandej të bëjmë një hamendësim rreth një varësie ekzakte. Për këtë qëllim vendosim në panelin e applet-it gravitacionin off (amortizimi do të zgjidhet automatikisht none), zgjedhim masën 0.10 kg, amplitudën e lëkundjes 4.0, dhe numrin e periodave 2. Startojmë applet-in dhe duke përdorur një kronometër bëjmë matjet e  x  në varësi të  t . Mënyra më e thjeshtë për të bërë këtë është që të lexojmë kohën kur fundi i masës lëvizëse kalon shenjën një metër. Kopjoni tabelën e mëposhtëme nga ekrani dhe regjistroni atje rezultatet tuaja. Duke vepruar kështu kujtojmë se në të gjitha formulat që kemi nxjerrë kemi pas parasysh që boshtin e  x  -eve e kemi me kahe për nga sipër. Por në applet kjo zgjedhje është e kundërt. Prandaj koordinatat e   x  në tabelën e mëposhtëme do të kenë shenjë të kundërt me ato të applet-it.

      Duke përdorur të dhënat e grumbulluara ndërtoni në një letër të milimetruar grafikun e varësisë së  x  nga   t .  Në një letër tjetër ndërtoni grafikun e funksionit -4cos për   nga  0  tek  4. Duke krahasuar të dy grafikët duhet të vëreni se varësia e  x  nga  t  mund të ketë formëën e mëposhtëme

ku x_o  dhe   janë  konstante të njohura.   Kuptimet fizike të këtyre konstanteve janë pothuajse të qarta. Për t =  0, x(0) = x_o , atëherë  x_o  është pozicioni fillestar, i cili në rastin tonë është   -4 m. Nëqoftëse ne marrim   t = T  që  T = 2 atëherë një periodë e funksionit kosinus është harxhuar, kështu që  T  është perioda e një lëkundje të plotë. Meqënëse = 2/T  dhe 1/T  quhet frekuencë, atëherë   quhet frekuencë këndore. Frekuenca e zakonshme tregonë se sa herë në sekondë përsëritet një fenomen periodik.

     Nëqoftëse vërtet  x(t)  ka formën e treguar më sipër, si do të jetë shprehja për shpejtësinë v(t)? Për të gjetur atë ne duhet të përdorim një metodë relativisht të sofistikuar matematike. Nga përcaktimi i  v(t) dhe  forma e postuluar e   x(t)  kemi:

Tani ne duhet të gjejmë vlerat e kllapave gjarpërushe për Dt = 0. Zëvendësimi i 0 në vend të Dt në të dy rastet jep të njëjtin rezultat  0/0, që është formë e papërcaktuar. Le të thjeshtojmë kllapën e parë gjarpërushe nga përdorimi i identitetit të mirënjohur trigonometrik cos =   cos²(/2) -  sin²(/2).  Mbas disa veprimeve algjebrike rezultati do të jetë:

Këto veprime u përdorën për të paraqitur përmbajtjen e dy kllapave gjarpërushe në formën  sin()/, ku në vend të  në kllapën e parë gjendet  Dt/2   dhe në kllapën e dytë gjendetDt. Nëqoftëse  i afrohet zeros, ky raport i afrohet 1. Një argumentim intuitiv (jo strikt matematik) i kësaj mund të paraqitet si më poshtë. Këndi   në radian (shiko Fig.1) është i barabartë me harkun(AB)/OA, ndërsa sin() (shiko Fig.2) është i barabartë me  AC/OA. Atëherë  sin()/= AC/harkun(AB). Por duke parë Fig. 2 ne vëmë re se nëqoftëse  i afrohet zeros, ndryshimi midis AC dhe harkut(AB) bëhet gjithnjë e më i vogël.

      Duke aplikuar rezultatin e fundit në shprehjen për v(t) ne përfundojmë me rezultatin e thjeshtë

E njëjta metodë aplikohet për rezultatet e   Dv(t)/Dt me nxitimin

Duke zëvendësuar rezultatet për  x(t)  dhe  a(t)  në ligjin e dytë të Njutonit për sustën (oshilatorin harmonik) ne fitojmë rezultatin e mëposhtëm:

  =   [k/m]^&1/2;       or        T  =   2[m/k]^&1/2; .

Ju mund të verifikoni rezultatin e fundit "eksperimentalisht" sepse ju tashmë keni gjetur  k (për vlerën e saj relative të barabartë me 1) dhe keni grafikun "eksperimental" të x(t) të bërë për  m = 0.10 kg. Duke futur vlerat për   k  dhe  m  në formulën për T  ju mund të gjeni kohën e një lëkundje të vetme të plotë. Ju mund të gjeni gjithashtu vlerën "eksperimentale" të   T  nga grafiku i x(t). Nëqoftëse këto dy vlera të T  janë pothuaj të njëjta, parashikimet teorike, duke përfshirë dhe parimin e ruajtjes së energjisë mekanike, janë konfirmuar.

       Vlerësim
        Nëqoftëse deri këtu mund të zgjidhni problemet e mëposhtëme:

objektivat e këtij mësimi janë arritur plotësisht. Nëqoftëse ju keni dyshime, përpiquni ta lexoni atë dhe një herë duke u përqëndruar më shumë, por mos u përpiqni ta mësoni tekstin përmendësh. Fizika nuk është lëndë që mësohet përmendësh, por është lëndë që në radhë të parë duhet kuptuar.