NJE HYRJE NE MEKANIKEN NEWTONIANE Nga Edward Kluk Dickinson State University, Dickinson ND (Faqja dhe Appleti pershtatur nga Bejo Duka, Universiteti i Tiranes, Tirane)

   

        Hyrje
      Per gjate 30 vjetesh  Tycho de Brahe (1546 - 1601) ka regjistruar pozicionet e planeteve ne sferen qiellore. Qellimi i tij ishte qe te provonte modelin e vet gjeocentrik te universit me diellin qe rrotullohet rreth tokes dheplanetet e tjere qe rrotullohen rreth diellit. Por, pas vdekjes se Tycho-s asistenti i tij  Johannes Kepler (1571 - 1630) i perdori keto te dhene per te pergjithesuar modelin e sistemit heliocentrik te   Nicolaus Copernicus (1473 - 1543) . Duke zbatuar metodat matematike te analizes, ai provoi qe orbitat planetare lane eliptike (jo tamam rrethore sic ishte supozuar nga Copernicus). Ai provoi gjithashtu se per cdo dy planete, periodat e tyre (koha e nevojeshme per te kryer nje rrotullim te plote rreth diellit) T₁ and T₂  dhe distancat e tyre mesatare nga dielli R₁ dhe R₂  kenaqin relacionin e meposhtem

Ky relacion njihet si ligji i trete i Keplerit. Gjysem shekulli me vone, Newton e nxorri ate nga ligji i dyte i tij dhe nga ligji gravitacionit.

      Ju mund te habiteni se si Kepleri mundi te dinte distancat e planeteve nga dielli. Ne fakt ai nuk i dinte. Por duke perdorur te dhenat e Tycho's dhe trigonometrine, ai mundi te gjente raportet  R₁ / R₂  per disa cifte planetesh. Ne figuren e pare me poshte eshte shpjeguar se si ai mundi ta gjente ate. Kur kemi nje planet te brendeshem (nje planet qe e ka orbiten e tij brenda orbites te tokes) mjafton te gjendet nje distance

kendore maksimale  midis ketij planeti dhe diellit.  Mandej nga figura e mesiperme mundet  R _V / R _E  =  sin, te llogaritet raporti lehte. Praktikisht, mund te gjendet kendi   nuk eshte krejt e thjeshte sepse duhet ditur drejtimi drejt diellit kur dielli eshte akoma poshte horizontit. Perndryshe planeti nuk do dukej. Megjithate astronomet e shekullit 16 e dinin se si t'i benin keto lloj matjesh.

       Eksperiment
      Nje qellim kryesor i ketij "eksperimenti" eshte te tregoje se sa e thjeshte do ishte zbulimi i ligjit te trete te Keplerit por nje vrojtues  qe ka kohe te mjaftueshme dhe eshte vendosur jashte sistemit tone diellor. Sistemi diellor i paraqitur ne applet ka shtate planete qe rrotullohen rreth diellit ne orbita rrethore. Por ju mund te shikoni vetem nje planet ne nje kohe. Distancat ne ketein sistem planetar jane treguar ne Tm (1 terameter = 10 ¹²m).  Per te krahasur vetite e ketij sistemi me vetite e sistemit tone diellor ne do supozojme qe nje sekonde e kohes rele eshte ekuivalent me nje 10 ⁴ days per sistemin planetar te appletit.

      Nisni appletin duke klikuar mbi butonin "pastro". Vini re se pervec nje planeti dhe diellit (ylli) aty keni edhe nje shigjete qe tregon drejtimin drejt nje ylli tjeter shume te larget. Ne e duam kete drejtim si nje reference per te matur se sa kohe zgjat nje rrotullim i plote per secilin nga keto planete. Vini re se kur perpiqeni te matni kohen e nje rrotullimi te plote, ju automatikisht(pa menduar per te) duhet te zgjidhni nje drejtimreferimi. Pa nje reference te tille nuk eshte e mundur te perfytyroni kur eshte kryer nje rrotullim i plote.  Nese keni dyshime beni nje eksperiment te thjeshte. Qendroni ne ne mes te dhome tuaj, mbyllni syte dhe i mbyloni mire me duart tuaja. Beni pak rrotullime rreth boshtit tuaj vertikal dhe perpiquni te ndaloni kur fytyra juaj eshte ne drejtimin fillestar. Nese rastesisht ju keni arritur ta beni kete, provoni ta beni perseri.

      Duke u kthyer perseri tek eksperimenti i appletit, zgjidhni nje rreze te mundeshme te nje orbite planetare dhe nje rrotullim te vetem. Klikoni mbi "ec" per ta pranuar zgjedhjen tuaj. Njekohesisht klikoni mbi butonin "fillo" dhe shkelni kronometrin. Regjistroni rrezen e orbites ne metra dhe periode ne sekonda per planetin e zgjedhur dhe futini ne nje tabele te ngjashme me ate te vendosur me poshte. Kujtohuni qe, nje sekonde reale trajtohet ne kete "eksperiment" si 10,000 dite te plota ose 8.64 x 10 ⁸ sekonda. Llogaritni R³ / T² . Perseriteni kete te gjithe per tre planete te tjere duke zgjedhur rreze te ndryshme te orbitave.

     Tani mendoni per mbi Brahe dhe Kepler. Ata kishin shume me teper veshtiresi se ju sepse matjet dhe llogaritjet beheshin brenda sistemit diellor dhe ne kohe reale.  Ne fakt toka nuk rrotullohet vetem rreth diellit, por rrotullohet edhe perreth boshtit te vet  i cili madje nuk eshte pingul me planin e orbites se tokes; kjo e ben tablone e levizjes se planetit shume te nderlikuar. Per kete arsye ne duhet te admirojme eksperimentet e Brahe dhe Kepler dhe mjeshterine e tyre matematike.

       Kinematika e levizjes rrethore
      Nese nje trup leviz me nje shpejtesi konstante pergjate nje orbite rrethore, ai ka nxitim sepse shpejtesia e tij ndryshon vazhdimisht. Kujtohuni, shpejtesia eshte vektor dhe  ritmi i ndryshimit te shpejtesise eshte  nje nxitim.  Shpejtesia e trupit na tregon ne jo vetem per shpejtesine e castit te ketij trupi (vektorin e shpejtesise ne madhesine e saj) por edhe drejtimin e castit te levizjes. Diagrama me poshte tregon se si ndryshon shpejtesia e trupit.  Per kete levizje te vecante madhesia e shpejtesise nuk ndryshon por drejtimi i shpejtesise ndryshon. Ky ndryshim v  tregohet qartazi ne pjesen e djathte te diagrames. Meqenese vektoret  OA dhe  v₁  sikurse edhe vektoret  OB dhe  v₂ jane pingul trekendeshi OAB  dhe tekendeshi in formuar nga vektoret  v₁ , v₂ dhe v  jane te ngjashem (per lehtesi ketu vektoret jane shenuar me germa te theksuara dhe po ashtu edhe drejtimet e tyre me vija te theksuara).

Kjo ngjashmeri con ne proporcionet e meposhteme per gjatesite e vektoreve

v / v₁  =  AB / r ,

ku rrezja e rrethit  r = OA. Duke pjestuar te dy anet e ketij proporcioni me nje kohe t  qe i duhet trupit per te pershkruar distancen prej A deri B ne marrim

(v / t) / v  =  (AB / t) / r .

Per hir te thjeshtesise v₁ eshte zevendesuar ketu me v sepse te gjitha shpejtesite per kete rast kane madhesi te njejte. Duke bere  t  shume te vogel ne bejme gjithashtu v  dhe  AB shume te vogel. Atehere, sipas marveshjes sone, ato mund te zevendesohen me  Dt, Dv dhe Dx, ku Dx eshte gjatesia e AB harkut. Kur pikat A dhe B jane shume afer, distancat midis tyre thuajse nuk ndryshojne nga gjatesia e harkut AB. Rezulton me

sepse  Dx / Dt  =  v . Ne kete pike ne mund te dyshojme se  Dv / Dt  eshte nje madhesi e nxitimit centripet e trupit qe rezulton nga nje force qe e mban kete trup ne trajektoren e tij rrethore. Me tej akoma, duke pare ne figuren me lart ne mund te marrim me mend qe ky nxitim eshte i drejtuar drejt qendres se rrethit. Megjithate, qe te jemi te sigurte per kete matematika nuk do te mjaftonte.

       Ligji i Newton per gravitacionin
      Shume afer siperfaqes se Tokes, forca e saj e gravitacionit qe terheq cdo trup drejt qendres se Tokes duket sikur nuk varet nga lartesia e trupit. Mbi te gjitha nxitimi i te gjithe trupave qe bien lirisht eshte konstant. Por ketu ne po flasim mbi ndryshimet ne nje distance qe eshte shume e vogel edhe ne krahasim me rrezen e Tokes (~6400 km). Do te ishte naive te supozohej qe forca gravitacionale midis Diellit dhe nje planeti ose midis Tokes Earth dhe Henes nuk varet nga distanca. Le te supozojme nje proporcionalitet te kesaj force me R ^-n  ku R eshte distanca midis dy trupave qe bashkeveprojne dhe  n  eshte nje numer. Ky supozim merr ne konsiderate formalisht nje game te gjere mundesish. Per shembull, nese  n < 0  forca gravitacionale do ishte ne rritje me distancen. Relacioni  F  =  mg  sugjeron qe forca gravitacionale duhet te jete proporcionale me masat e secilit nga trupat qe bashkeveprojne. Kjo behets shume e dukeshme duke konsideruar  dy planete hypotetike identike. Nese kjo force eshte proporcionale me masen e njerit planet, ajo duhet te ishte proporcional edhe me masen e planetit tjeter. Keshtu qe mund te postulohet qe forca gravitacionale si

ku G eshte konstant (tashme e njohur si konstantja universale e gravitetit) dhe m₁, m₂ jane masat e trupave qe bashkeveprojne. Konstantja universale e gravitetit u mat per here te pare ne nje laborator nga Henry Cavendish (1731-1810). Vlera e saj e pranuar aktualisht eshte G = 6.67259 x 10 ^-11 m³ kg^-1 s^-2.

      Nese nje force e tille qe vepron midis diellit (masa M) dhe planetit shkakton nje nxitim centripet te planetit (masa m), atehere sipas ligjit te dyte te Newton (ma = F)

Per hir te thjeshtesise ketu ne kemi supozuar nje orbite rrethore per planetin. Ne fakt shumica e planeteve te sistemi tone diellor i kane orbitat thuajse rrethore. Keshtu, shpejtesia e planetit v = 2R / T, ku  T  eshte perioda e nje rrotullimi te plote te planetit rreth diellit. Duke zevendesuar  v  tek ligji i dyte i Newtonit per planetin duke rregulluar kete ekuacion ne marrim

R ⁿ⁺¹ / T² = G M / (2)² .

Ana e djathte e ketij relacioni nuk ka ndonje madhesi qe lidhet me planetin. Keshtuqe raporti ne anen e majte eshte i njejte per cdo planet qe rrotullohet rreth diellit ne nje orbite rrethore. Duke i shenuar rrezet dhe periodat per dy planete te zgjedhur me R₁ , R₂ dhe T₁ , T₂ respektivisht, dhe duke kryer manipulime te thjeshta algjebrike ne gjejme

Duke krahasuar kete rezultat teorik ligjin e trete te Keplerit detyrohemi te pranojme n = 2 e cila na con ne

Ne kete menyre ne kemi rizbuluar ligjin e Newtonit te gravitacionit.

       Problemi i peshes i ripare        Ligi i gravitacionit ne formen e paraqitur me lart eshte nxjerre per trupa me permasa shume me te vogla se distanca midis tyre. C'ndodh nese ne duam ta zbatojme ate per nje njeri ne siperfaqen e tokese, per nje aroplan qe fluturon ose per nje satelit artificial te tokes? Per raste te tilla kushti i formuluar me lart nuk plotesohet. Megjithate, ka nje mundesi per ta perdorur ligjin e gravitacionit edhe per keto raste. Ne gjithmone mund ta ndajme me mend token dhe trupat e tjere ne pjese te mjaft te vogla dhe ta zbatojme kete ligj per cdo cift te vecante pjesesh te tilla, nje pjese e tokes dhe nje pjese e trupit. Por tashme ne ndeshim nje tjeter problem serioz. Si t'i mbledhim keto forca gravitacionale qe veprojne midis gjithe pjeseve?. Perseri, matematika na vjen ne ndihme. Nese njohim teoremen e Carl Friderich Gauss (1777-1855)  dhe kemi supozuar nje simetri sferike te shperndarjes se mases brenda tokes si dhe permasa te vogla te objektit(trupit) ne krahasim me permasat e tokes,ne mund te tregojme qe forca e gravitetit do te kishte formen e meposhteme

ku m dhe M jane masat e objekteve dhe tokes, dhe R eshte distanca midis qendres se tokes dhe objektit. Rirregullimet e fundit e kesaj formule e ben ate thuajse identike me formulen  F  =  mg . Me perjashtim qe ne formulen e re nxitimi gravitacional g(R) varet nga distanca e objektit nga qendra e tokes, ndersa g duket si konstante.

      Per te shqyrtuar varesine e g(R) nga R , le te zbatojme nje analize te thjeshte matematike. Nese objekti eshte ne lartesine h mbi siperfaqen e tokes dhe rrezja e tokes eshte shenuar me R_e , atehere  R  =  R_e + h. Rezulton se kemi

Ketu numuruesi (ne kllapa gjarperushe) paraqet nxitimin gravitacional tamam ne siperfaqen e tokes, dhe emeruesi pershkruan nje ndryshim te ketij nxitimi nese trupi eshte eshte ngritur ne lartesine h mbi siperfaqen e tokes. Per te vleresuar sa i madh eshte ky ndryshim le te supozojme qe  h = 10 km = 10⁴ m dhe llogarisim raportin

Nje diference kaq e vogel eshte shume veshtire te matet. Per kete arsye per shumicen e zbatimeve praktike supozohet qe g eshte konstant.

      I njejti lloj korrektimi per anijen kozmike qe fluturon 320 km mbi siperfaqen e tokes eshte thuajse substancial sepse i njejti raport per h  =  320 km eshte baraz me 0.952 . Keshtu, nxitimi gravitacional ne kete rast eshte rreth 5% me i vogel se sa ne siperfaqen e tokes. Per te gjetur pse astronautet ndjehen pa peshe vazhdoni te lexoni mesimin tjeter.

       Vleresimi
       Nese ne kete pike ju mund :

• te nxirrni relacionin (R₁ / R₂)ⁿ⁺¹ = (T₁ / T₂)²
• te mesoni pse ligji i trete i Keplerit nuk do zbatohej dot nese masat e planeteve do te ishin te krahasueshme me masen e diellit (yllit)
• te gjeni masen e diellit(yllit) ne sistemin planetar te appletit duke ditur se G = 6.67 x 10 ^-11 m ³kg^-1s^-2. Rezultati juaj duhet te jete rreth 90% e mases diellore (5.98 x 10³⁰kg).
• te gjeni se cili planet i sistemit tone diellor ka veti te orbites te ngjashme (rreze te orbites, periode ne orbite) me planetin e sistemit planetar te appletit me R = 1.5 Tm
• te kuptoni pse ishte kaq e veshtire te zbulohej ligji i trete i Keplerit.
• te llogartni masen e tokes duke njohur G, R_e dhe g = 9.8 m/s².