NJE HYRJE NE MEKANIKEN NJUTONIANE
nga Eduard Kluk
Dickinson State University, Dickinson ND

Faqja pershtatur nga Erion Spahiu, Appleti pershtatur nga Bejo Duka

   

INERCIA, PSEUDOFORCA DHE LIGJI I PARE I NJUTONIT

 
 

     Hyrje
      Ne applet klikoni ne butonin "pastro", zgjidhni rrezen e orbites 0.20 Gm (1 Gm = 109 m), gjithashtu selektoni "Gjurme", klikoni ne butonin "ec" dhe butonin "fillo". Shikoni nje orbite te satelitit te zgjedhur dhe shpejtesine e planetit. Tani imagjinoni veten duke luajtur rolin e dy shkencetareve njekohesisht. Njeri prej ketyre shkencetareve eshte ne nje planet me disa satelite qe rrotullohen rreth ketij planeti ne orbita rrethore. Te gjitha keto orbita jane ne planin ekuatorial te planetit. Shkencetari tjeter eshte ne nje anije kozmike duke vrojtuar planetin dhe satelitet e tij nga distaca shume te medha. Ai shikon ne ekranin e kompjuterit te tij nje imazh te planetit dhe sateliteve te tij . Per vezhgime te pershtatshme planeti eshte zmadhuar 10 here me shume se orbita satelitore. Ne saje te ketij zmadhimi ai mund te shikoje afer nje njolle te bardhe afer ekuatorit te planetit. Ekuatori duhet te jete gjate kufirit te imazhit planetar. Laboratori i shkencetarit te pare eshte ne ekuator. Ne qofte se vizaton ne imazhin e kompjuterit perpendikularen e vijes ekuatoriale , ajo do te shkoje drejt njolles se bardhe.

      Duke menduar si shkencetari qe eshte ne planet, ju dini rreth zbulimeve te reja, ligjin e trete te Keplerit, ligjin e dyte te Njutonit dhe ligjin e gravitacionit. Ligji i trete i Keplerit ishte zbuluar per planetet e sistemit tone planetar. Kohet e fundit duke perdorur tekniken e paralaksit ju keni matur edhe distancat e sateliteve te planetit tuaj. Mund te habiteni, si eshte ligji i trete i Keplerit i vertete per satelitet? Veçanerisht qe ju keni dyshime te tjera te shkaktuara nga sjellja e cuditshme e njerit prej sateliteve.  Ky satelit i cili eshte rreth 0.3 Gm nga qendra e planetit eshte varur pa levizur ne laboratorin tuaj. Per ta pare ate rivendosni apletin, klikoni ne butonin "pastro" dhe filloni ate perseri.  Duke vendosur boshtit y me origjine ne qendren e planetit dhe I drejtuar vertikalisht lart, nga ligji i dyte i Njutonit dhe ligji i gravitacionit ju mund te shkruani per kete satelit

m Dv / Dt  =  - G m M / y2 ,

ku m dheM jane masa e satelitit dhe planetit, dhe  y  eshte distanca nga qendra e planetit tek sateliti. Meqenese nxitimi i satelitit te palevizshem Dv / Dt = 0 , ana e majte e ketij barazimi eshte zero, ndersa krahu i djathte nuk eshte zero. Eshte e qarte diçka nuk shkon atje pavaresisht nga fakti qe ligji i dyte i Njutonit ishte tashme provuar per rastet si levizja e predhes, levizja oshiluese dhe shume raste te tjera.

     Eksperiment

      Rivendos dhe pastro apletin perseri. Zgjidh numrin e periodes te barabarte me 5, dhe rrezen e orbites 1.5 Gm. Pregatitni kronometrin tuaj, filloni njekohesisht apletin dhe kronometrin dhe matni kohen kur sateliti duket perseri mbi laboratorin tuaj. Duke regjistruar kete kohe kujtojme qe 1 sekonde reale eshte ekuivalente me 104 s ne modelin e apletit te planetit me satelitet. Regjistroni te gjitha te dhenat e nevojshme dhe rezultatet e llogaritjeve dhe plotesoni se pari tabelen e meposhtme

 # 

REZJA e 

ORBITES RSAT [m]

  PERIODA   

T [s]

 (RSAT)3 / T2 

 1

0.15 x 109

 

 

 2

0.20 x 109

 

 

 3

0.25 x 109

 

 

 4

0.30 x 109

 

 

Perseritni matjet e thjeshta per tre satelite te tjere. Kur ju te beni kete, konkluzioni tuaj eshte i qarte. Ligji i trete i Keplerit per keta satelite nuk vlen.

      Por prisni nje moment. Çfare kuptojme me periode te satelitit? Ju keni matur keto perioda ne sistemin e referimit te lidhur me laboratorin tuaj.  Ky sistem laboratorik rrotullohet se bashku me planetin tuaj. Megjithate ka mundesi te tjera. Per sistemin tuaj planetar, periodat e planeteve ishin te referuara ndaj yjeve te larget. Ju mund te zbatoni te njejtat referenca tek satelitet. Kjo eshte sikur te shikosh planetin dhe satelitet e tij nga jashte, nga nje anije kozmike mbi orbitat plane te sateliteve. Perserisni te gjitha matjet dhe llogaritjet tuaja duke perdorur referencat e periodave te sateliteve ndaj nje ylli te larget. Kete here ligji i trete i Keplerit zbatohet edhe per satelitet e qendrueshem. Keshtu, rezultatet jane varur nga zgjedhja e sistemit te referimit. Si mendoni per hipotezen qe ligji i dyte i Njutonit nuk duket i njejte ne te gjitha sistemet e referimit? Kjo ndodh per ndryshimet e vogla, te cilat jane praktikisht pakuptim per disa raste dhe te rendesishme per rastet e tjera. Tani, erdhi momenti per te nje teori me te veshtire.

     Shqyrtimi i Hipotezave Tona

      Le te marrim dy sisteme referimi (x,y) dhe (x',y') te cilat jane treguar ne  figuren e meposhtme.

 

Boshtet x dhe y te (x,y) jane fiksuar ndaj yjeve. Sistemi tjeter (x',y') eshte duke u rrotulluar uniformisht bashke me planetin ne drejtimin e akrepave te ores me nje shpejtesi kendore konstante . Rezulton se  = t.

     Deri tani ne ishim duke perdorur ligjin e dyte te Njutonit nje dimensional, vecanerisht per levizjet gjate nje vije te drejte. Duke shqyrtuar levizjen e pjerret dy dimensionale te predhes ne kemi vene re se eshte e mundur te pershkruajme nje vektor te shpejtesise me ndihmen e dy komponenteve (projeksionet sipas boshteve x dhe y te sistemit te referimit). Duke supozuar qe projeksione te tilla do te vlejne edhe per cdo vektor (shikoni vektorin A i perbere nga komponetet e tij qe tregohet ne sistemin e mesiperm), ne mund te postulojme ligjin e dyte te Njutonit per sistemin (x,y) si vijon

m Dvx / Dt  =  Fx           (0a),       m Dvy  / Dt  =  Fy             (0b).

Kjo duket menjehere qe vlen per nje levizje te pjerret te predhes. Ne qofte se boshti  y eshte drejtuar vertikalisht lart dhe bosht x eshte horizontal, atehere  Fy  =  - mg   dhe  Fx  =  0.  Prandaj, ne perputhje me ekuacionet qe jane dhene me siper per levizjen e nxituar te predhes me nxitim g per poshte dhe nxitim horizontal te barabarte me zero. Keshtu, horizontalisht ajo leviz me nje shpejtesi konsante. Kjo eshte ajo qe ne kemi mesuar nga eksperimentet tona per levizjen e predhes. Por tashme ne dime qe keto ekuacione nuk vlejne per satelitet e qendrueshem. Sipas ketyre, sateliti duhet te bjere poshte.

      Le te supozojme qe kjo forme e ligjit te dyte te Njutonit zbatohet ne sistemin (x,y) qe eshte ne figuren e pare me siper. Per secilin rast, komponentet vx, vy, Fx dhe Fy duhet te merren ne sistemin (x,y). Tani, ne qofte se ne duam te transformojme kete forme te ligjit te dyte te Njutonit nga sistemi (x,y) tek sistemi (x',y') ne duhet te transformojme komponentet e shpejtesise dhe te forces per kete sistem. Komponentet e shpejetesise jane treguar tek nje ndryshim i kordinatave te trupit te vezhguar dhe keto kordinata jane ndryshe ne keto dy sisteme (shikoni kordinatat e pikes P ne figuren e pare siper). Ne duhet te gjejme lidhjet ndermjet ketyre kordinatave. Kjo nuk eshte shume e veshtire por do kohe.

      Duke pare figuren e mesiperme ne mund te gjejme se

x'  =  OA'  =  OC + CA'  =  OA / cos +  PA' tan  =   x  / cos +   y' sin / cos ,

prandaj

x  =  x' cos -  y' sin          (1a).

Ne gjithashtu kemi

y  =  OB  =  OD + DB  =  OB' / cos  +  BP tan =  y' / cos + x sin/ cos

prandaj

y cos =  y' + x sin =  y' + (x' cos - y' sin)  =  y' (1 - sin2) + x' cos sin =

y' cos2 + x' cos sin,

dhe perfundimisht

y  =  x' sin + y' cos               (1b).

Formula (1 a,b) ben te mundur te gjenden kordinatat e pikes ne sistemin (x,y) ne qofte se kordinatat e kesaj pike ne (x',y') dhe kendi  njihen. Ne mund te bejme transformimin e kordinatave nga sistemi (x',y') ne sistemin (x,y). Duke shumezuar (1 a) me cos dhe (1 b) me sin, dhe duke i mbledhur marrim

x'  =  x cos + y sin              (2a),

duke perdorur nje teknike te thjeshte ne mund te marrim gjithashtu

y'  =  - x sin + y cos               (2b).

Formula (2 a,b) perben nje transformim invers nga sistemi (x,y) ne sistemin (x',y').

      Nje hap tjeter llogjik duhet te jete per te gjetur si jane transformuar komponentet e shpejtesise dhe te nxitimit ndermjet ketyre dy sistemeve te referimit. Shpejtesia e ndryshimit te   x  ne krahun e majte te (1a) duket si komponentja e shpejtesise x ne sistemin (x,y). Kjo shpejtesi duhet te jete e barabarte me shpejtesine e ndryshimit te anes se djathte te (1a). Por llogaritjet ne kete rast nuk jane aq te thjeshta. Ana e djathe permban dy terma, secili prej tyre eshte produkt i dy madhesive kohore te varura sepse x', y' dhe   varen nga koha. Si rrjedhim ne jemi kthyer ne problemin e gjetjes se shpejtesise se ndryshimit te prodhimit te dy funksioneve qe varen nga koha.

      Shenojme keto funksione me f(t) dhe g(t). Atehere nga perkufizimi

D {f(t) g(t)} / Dt  =  {f(t + Dt) g(t + Dt) - f(t) g(t)} / Dt  =

{f(t + Dt) g(t + Dt) - f(t) g(t + Dt) + f(t) g(t + Dt) - f(t) g(t)} / Dt  =

[{f(t + Dt) - f(t)} / Dt ] g(t +Dt) + f(t) [{g(t + Dt) - g(t)} / Dt]  = 

{D f(t) / Dt} g(t) + f(t) {Dg(t) / Dt}

Tani ne mund te shohim qe shpejtesia e ndryshimit per produktin e dy funksioneve eshte e barabarte me shpejtesine e ndryshimit te funksionit te pare shumezuar me funksionin e dyte plus funksionin e pare shumezuar nga shpejtesia e ndryshimit te funksionit te dyte.

      Duke studiuar levizjen oshiluese ne tashme nxorrem nje tjeter rezultat i cili mund te aplikohet ketu. Shenojme

D(sint) / Dt  = cost      and       D(cost) / Dt =  - sint .

Duke gjetur shpejtesine e ndryshimit te dy aneve te relacionit (1 a) ne kemi

Dx / Dt  =  D(x' cost) / Dt - D(y' sint) / Dt  =

Dx' / Dt cost  +  x' D(cost)  -  Dy' / Dt sint  -  y' D(sint) .

Duke vendosur shpejtesine e ndryshimit te kordinatave tek komponentet e shpejtesise te treguara dhe duke perdorur rezultatet per shpejtesine e ndryshimit te funksioneve sin e cos ne gjejme

vx  =  v'x cost  -  v'y sint  -  x' sint  - y' cost  .            (3a)

me thjesht nga relacioni (1 b) vijon

vy  =  v'x sint  +  v'y cost  +  x' cost  -  y' sint  .          (3b)

Prandaj, komponentet e shpejtesise jane transformuar nga sistemi (x',y') tek sistemi (x,y) me rruge me te komplikuara se kjo me kordinata. Por ne mund te shkojme nje hap me tej dhe te gjejme si jane transformuar nxitimet. Duke bere kete lloj llogaritje me kujdes nuk bejme ndonje gabim. Perndryshe rezultati perfundimtar nuk do te kete ndonje sens.

      Duke perdorur te njejten teknike ju mund te llogarisni hap pas hapi shpejtesine e ndryshimit per te dy anet e (3 a) dhe (3 b). Kjo do te çoje ne rezultatet e meposhtme

Dvx / Dt  =  (Dv'x / Dt) cost  -  (Dv'y / Dt) sint  -

2(v'x sint  +  v'y cost)  - 2(x' cost  -  y' sint)              (4a)

Dvy / Dt  =  (Dv'x / Dt) sint  +  (Dv'y / Dt) cost  -

2(v'x cost  -  v'y sint)  - 2(x' sint  +  y' cost)              (4b)

Ne kete pike, ju mund te cuditeni ne qofte se marrim nga rezultate te tilla te komplikuara ndonje gje qe eshte e thjeshte dhe qe na tregon ne dicka interesante rreth natyres. Ju lutemi kembengulni dhe do te shikoni. Ne akoma do te perdorim me shume matematike, sepse ska rruge tjeter. Tashme Euklidi ishte i vetedijshem per probleme te tilla kur ai i tregoi mbretit te tij i cili donte te mesonte gjeometrine qe nuk ka rruge mbreterore per gjeometrine. Me fjale te tjera gjerat e sigurta jane me veshtiresi intelektuale dhe ne qofte se ne duam ti kuptojme ato ne duhet te kalojme keto veshtiresi. Keshtu, nuk besohet ne fizike pa matematike. Zbulimet jo te redesishme ne fizike ishin bere edhe pa perdorur matematiken.

      Nje hap tjeter drejt ligjit te dyte te Njutonit ne sistemin rrotullues eshte te zevendesohen (4a) dhe (4b) respektivisht tek (0a) dhe (0b). Rezultati akoma do te duket me i komplikuar

m{(Dv'x / Dt) cost  -  (Dv'y / Dt) sint}  =  Fx  +

2m(v'x sint  +  v'y cost)  +  m2(x' cost  -  y' sint)              (5a)

m{ (Dv'x / Dt) sint  +  (Dv'y / Dt) cost }  =  Fy  +

2m(v'x cost  -  v'y sint)  +  m2(x' sint  +  y' cost)              (5b)

por thjeshtesia eshte ne anen e djathte. Le te shumezojme (5a) me  cost , (5b) me sint  dhe i mbledhim ato, atehere pas disa veprimeve matematike ne marrim

m Dv'x / Dt  =  Fx cost  +  Fy sint  + 2mv'y + m2x'       (6a).

Duke pare ne dy termat e pare ne te djathte te (6a) dhe ne (2a) bejme qe keta dy terma te mund te prefaqesojne F'x , e cila eshte komponentja e forces sipas x ne sistemin (x',y'). Ne qofte se eshte keshtu, komponentet e forces jane transformuar nga sitemi (x,y) ne sistemin (x',y') ne te njejten rruge saktesie si kordinatat e nje pike . Shumezojme  (5a) me  - sint , (5b) me cost  dhe duke i mbledhur ato marrim

m Dv'y / Dt  =  - Fx sint  +  Fy cost  - 2mv'x + m2y'       (6b).

Perseri, dy termat e pare te krahut te djathte te (6b) perfaqesojne perberen F'y. Si rrjedhim ligji i dyte i Njutonit ne sistemin (x',y') ka trajten qe vijon

m Dv'x / Dt  =  F'x  + 2mv'y + m2x'       (7a)

m Dv'y / Dt  =  F'y  -  2mv'x + m2y'       (7b).

Tani duket qe hipoteza jone ishte e sakte. Ne sistemin rrotullues (sistemi (x',y')) dy termat shtese tregojne qarte nepermjet shpejtesise kendore  rrotullimin e dukshem. Keta terma veprojne formalisht si forca shtese.  Do ta zgjidhin ata problemin e sateliteve te qendrueshem? Cili eshte kuptimi i pergjithshem? Kemi nevoje per me shume shqyrtime.

     Kthehemi tek satelitet e qendrueshem

      Le te vendosim origjinen e sistemit te rrotullimit ne qendren e planetit tone, ku boshti y' eshte drejt satelitit te qendrueshem dhe x' boshti ne planin ekuatorial te planetit . Ky sistem rrotullohet se bashku me planetin tone dhe shpejtesia kendore e tij eshte te barabarte me shpejtesine kendore te planetit. Duke zbatur (7a) dhe (7b) tek sateliti ne mund te shikojme qe te dy komponentet e nxitimit dhe shpejtesise jane zero. Sateliti ne sistemin e rrotullimit eshte ne qetesi. Per me teper,  F'x  =  0  sepse forca gravitacionale e planetit vepron ne satelit vetem gjate boshtit y' dhe  x'  =  0  sepse sateliti eshte ne boshtin y' . Atehere (7a) behet e vertete por eshte e paperdorshme sepse   0  =  0 , dhe (7b) eshte reduktuar tek  F'y  +  m2y'  = 0 . Tani ne mund te shikojme qe forca gravitacionale qe vepron ne satelit eshte ekuilibruar nga nje "force" e re qe ka dale pas transformimeve te ligjit te dyte te Njutonit nga sistemi (x,y) tek sistemi (x',y'). Prandaj, ligji i dyte i Njutonit i transformuar pershkruan ne menyre korrekte sjelljen e satelitit. Duke zevendesuar tek (7b) shprehjen eksplicite per forcen e gravitacionit, ku R tregon rrezen e orbites se satelitit stacionar , ne gjejme

- G m M / R2  +  m2R  =  0        or           G M / R2  = 2R  .

      Ne kete moment, si shkencetar nga planeti, ju tregoni qe ka dy mundesi te vleresoni masen e planetit tuaj. Duke ditur  G,  R = 3 x 108 m   (shiko apletin) dhe  =  10-8  rad/s  (shiko apletin) ju mund ta beni ate  duke perdorur derivimin. Por duke njohur rrezen planetare Rp = 107 m (shiko apletin, dhe kujtoni zmadhimin shtese te imazhit te planetit) dhe nxitimin gravitacional ne siperfaqen e planetit gp = 9.00 m/s2 masa planetare M mund te jete gjetur nga ligji i gravitacionit. Duke vene te dhenat ne formulat respektive ju gjeni qe masa e planetit tone e llogaritur duke perdorur dy metodat eshte  1.35 x 1025 kg (beni keto llogaritje).

      Keshtu, kjo duket si teori e zhvilluar. Ajo parashikon edhe formen e ligjit te dyte te Njutonit ne sistemet rrotulluese (7a,b) . Si rrjedhim, ne qofte se forca e gravitacionit ne nje satelit zhduket (F'x = F'y = 0), sateliti duhet te levize ne sistemin e referimit (x,y) gjate vijes se drejte me nje shpejtesi konstante. Kjo eshte ekzaktesisht ajo qe ligji i dyte i Njutonit (0a,b) ju tregon ju per kete sistem. Por nga kjo pike shikimi (sistemi (x',y')) levizja e tij komplikohet me shume. Keto komplikime jane pershkruar formalisht nga "forcat" mbetese ne anen e djathte te  (7a,b). Nevoja e ketyre "forcave" prezente ne sistemet e rrotullimit (ato pershkruajne levizjen me saktesi te satelitit te qendrueshem dhe japin masen e sakte te satelitit tuaj) tregojne mungesen e ekuivalences fizike ndermjet sistemeve rrotulluese te referimit bashke me planetin tone dhe sistemit te referimit me boshtet e tij te drejtuar tek yjet. Ne sistemin e dyte nje trup i cili nuk eshte ndikuar nga trupa te tjere (Fx = Fy = 0), leviz gjate nje vije te drejte me shpejtesi konstante. Por kjo nuk ndodh ne sistemin tuaj (rrotullues) te referimit. Shenojme se nga pikpamja matematike, ne qofte se nuk do te ishte ne prehje universi qe perfaqesohet ne rastin tone yjet e larget si sistem referimi, te dy sistemet tona te referimit duhet te ishin plotesisht ekuivalente. Kjo domethene qe asnje prej tyre nuk eshte i privilegjuar.

     Ligji i pare i Njutonit

      Tashme, ne kemi nxjerre ligjin e pare te Njutonit. Ky ligj postulon ekzistencen e sistemeve te tilla te privilegjuara, ku nje trup, ne qofte se nuk ndikohet nga trupat e tjere (Fx = Fy = 0), leviz gjate nje vije te drejte me shpejtesi konstante. Keto sisteme jane quajtur sisteme referimi inerciale. Nje trup i cili nuk bashkevepron me trupat e tjere, cfaq inertesine e tij ne sistemet inerciale, duke ruajtur shpejtesine e tij (vleren dhe drejtimin e saj). Nje vleresim i inertesise eshte karakterizuar nga masa inerciale e trupit. Prandaj, "forcat" shtese duken ne sistemet e referimit jo inerciale (shiko (7a,b)) dhe jane pershkrime matematike si rezultat i inertesise se trupit. Dikur keto jane quajtur pseudoforca. Ne anen e djathte te (7a,b) jane komponentet e dy prej tyre. Shenojme se keto te dyja jane : forca e Koriolisit me komponente (2mv'y , - 2mv'x) e cila influencon eren ne planetin tone dhe llojin e klimes tone, dhe forca centrifugale me komponente (m2x' , m2y') e cila pershembull mban satelitet e qendrueshem ne orbitat e tyre. Duke u rrotulluar me shpejtesi ne mund te shikojme dhe te ndjejme kete force centrifugale ne veprim

     Vleresime

       ne qofte se ne kete pike ju:

Objektivat e ketij mesimi jane arritur. Ne qofte se keni dyshime rilexoni edhe njehere duke u perqendruar tek ato, por mos u mundoni te mbani mend permendesh tekstin. Fizika nuk duhet mbajtur mend permendesh, por duhet kuptuar

 

 

  

Mars 1997,perkthimi Nentor2000

E - mail to Edward Kluk

Copyright (c) 1996 Edward Kluk