Duke thjeshtuar masat në të dy anët e ketij ekuacioni, ne mund të arrijmë në çast në konkluzionin: lëvizja e lavjerrësit është e pamvarur nga masa e tij. Megjithatë mund të themi se përgjithësisht ky ekuacion është tepër i vështirë të diskutohet këtu pa bërë një thjeshtëzim të fortë. Bëjmë kufizimin që lavjerrësi të kryej lëkundje me kënde  të vegjël (më të vegjël se 11.5^o ose 0.2  radian) Atëhere ekuacioni i thjeshtuar (2) ) mund të rishkruhet si më poshtë:

Dv_x / Dt  =  - g sin= -(g/L) L sin =  - (g/L) x .         (3)

Shihet se ky ekuacion i ngjan  ekuacionit të oshilatorit harmonik  (një trup me masë m = 1 kg që lëkundet në një sustë me konstante elasticiteti k= g/L). Kështu perioda T për një lavjerrës të tillë është:

T  =  2(L/g)^½ ,         (3a)

dhe zhvendosja   x nga pozicioni i ekuilibrit është:

x(t)  =  x_o cos(t) ,  ku  =  (g/L)^½ .      (3b)

      Le të fillojmë me një eksperiment. Bëjmë të paktën 1 m të gjatë lavjerrësin duke përdorur një fije të hollë dhe të fortë si dhe një sferë të rëndë të varur në të. Fiksoni një pikë varje të lavjerrësit, rreth së cilës ai lëkundet lirisht në planin vertikal. Matni gjatësinë  L të lavjerrësit nga pika e varjes në qendrën e sferës. Matni me një kronometër kohën gjatë së cilës lavjerrësi bën dhjetë lëkundje. Bëni dy ose më shumë matje të tilla. Rezultatet duhet të jenë gjithmonë identike. Neqoftese ato ndryshojnë shumë, kujdes duhet bërë në numërimin e lëkundjeve. Nga të dhënat tuaja gjeni periodën mesatare   T  për një lëkundje. Duke njohur  L  dhe  T  llogaritni nxitimin e rënies së lirë  g. Shmangja nga vlera e saj prej  9.8 m/s² nuk duhet të jetë më shumë se2%. Kjo do të thotë që teoria punon mirë.

      Më sipër supozuam që lavjerrësi lëkundet vetëm në planin vertikal. Por në fakt, gjatë nje ngacmimi të vogël anësor që i bëhet atij, është e pashmangshme që lëvizja e tij të mos jetë sipas një trajektoreje ovale të ndodhur në sipërfaqen sferike me rreze L . Le të supozojmë se plani x,y në Fig. 2 është tangent me sferën e përmendur më sipër, në pikën O të ekuilibrit të lavjerrësit. Shënojmë se ne kemi ndryshuar kuptimin e boshtit të y-eve !!! Tani forca e pashënuar në Fig. 2 duke tërhequr lavjerrësin drejt pozicionit të tij të ekuilibrit, neqoftese vleresojme vetëm lëkundjet e vogla, ka madhësi   F =  k (x² + y²)^½  ( forca është proporcionale me distancën e lavjerrësit nga pika e ekuilibrit) dhe komponentet e saj janë  F_x  =  - k x  dhe  F_y  =  - k y. Këtu  x  dhe  y  janë koordinatat e lavjerrësit dhe  k  =  g/L. Duke zbatuar në këtë situatë ligjin e dytë të Njutonit (0a,b) ne kemi:

Kjo do të thotë që çdo koordinatë e lavjerrësit sillet si një oshilator harmonik. Ne kemi gjetur tashmë një zgjidhje (4a) . Kjo zgjidhje është:  x(t)  =  x_o cost. Njelloj (4b) ka një zgjidhje   y(t)  =  y_o cost . Duke përdorur ekzaktësisht nje metodë të njëjtë  mund të gjenden zgjidhjet shtesë:

x(t)  =  x_o sint   dhe    y(t)  =  y_o sint

      Tani imagjinoni nisjen e lavjerrësit nga pika e prerjes së boshtit të   x-eve me trajektoren ovale në Fig. 2. Neqoftese e leme atë të kalojë pa ndonjë shtytje shtesë, atëhere koordinata e tij y do të jetë gjithmonë zero dhe koordinata x do të përshkruhet nga funksioni  x(t)  =  x_o cost . Por neqoftese ju i jepni një shpejtësi fillestare   v_o në  drejtimin e y-eve,atëhere koordinata y nuk do të qëndrojë e barabartë me zero. Ne kete rast, zgjedhja e vetme e mundëshme është të marrim  y(t)  =  y_o sint ,sepse duhet gjithashtu të kemi  y(0) = 0. Për të gjetur një formë të trajektores bëjmë veprimet e thjeshta si më poshtë:

[x(t)/x_o]² + [y(t)/y_o]²  =  [cost]² + [sint]²  =  1.

Siç shihet kjo trajektore është një elips me gjysmëboshte  x_o  dhe  y_o. Neqoftese  y_o =  x_o elipsi kthehet ne rreth.

      Në rastin tonë të veçantë   y_o varet nga  v_o . Një lidhje midis tyre varet nga komponentja y e shpejtësisë së lavjerrësit. Kjo komponente

v_y(t)  =  Dy(t)/Dt  =  D[y_o sint]/Dt  = y_o cost ,

kështu  y_o  =  v_o /. Atëhere lëvizja e veçantë e lavjerrësit përshkruhet si më poshtë:

x(t)  =  x_o cost   dhe    y(t)  = ( v_o /) sint           (5a).

Neqoftese lavjerrësi niset nga boshti iy-eve me një shpejtësi fillestare që ka kahe të kundërt me boshtin ex -eve, atëhere lëvizja e tij përshkruhet nga:

x(t)  =  - (v_o /) sint   dhe    y(t)  =  y_o cost           (5b).

      Lavjerrësi në një sistem referimi që rrotullohet   

      Supozojmë se lavjerrësi është fiksuar në një suport që mund të rrotullohet ngadalë dhe fija e varjes shtrihet ekzaktësisht sipas boshtit të rrotullimit. Në Fig.3 janë treguar dy sisteme referimi. Sistemi i laboratorit i fiksuar në laborator dhe sistemi i rrotullueshëm i fiksuar në suport. Origjinat e të dy sistemeve janë ekzaktësisht në boshtin e rrotullimit. Fillimisht sfera e lavjerrësit ndodhet në pikën P në sistemin e rrotullueshëm. Lavjerrësi lëshohet nga një pozicion çfarëdo (natyrisht këndi i shmangjes i vogël) pa ndonjë shtytje,

në çastin   t = 0 kur të dy sistemet janë të mbivendosur. Neqoftese neglizhojmë rrotullimin e Tokës, lëvizja e lavjerrësit, e vrojtuar nga sistemi i laboratorit, përshkruhet nga ekuacionet: (4a,b) dhe (5b). Shpejtësia fillestare  v_o  në drejtimin negativ të boshtit të x-eve, e vrojtuar nga sistemi i laboratorit, është lidhur me y_o  (zhvendosja e pikës P nga origjina e sistemit të referimit që rrotullohet) dhe _T (shpejtësia këndore e rrotullimit), dhe  v_o = y_o T . Prandaj një vrojtues i ndodhur në sistemin laboratorik do të shikojë trajektoren e lavjerrësit si një elips me gjysmëbosht y_o përgjatë boshtit të  y -eve dhe gjysmëbosht  y_o T / përgjatë boshtit të  x -eve.

      Por a mund ta neglizhojmë rrotullimin e Tokës? Për lëvizje të ngadalta dhe në intervale të vogla kohe forca centrifugale dhe ajo e Koriolisit, që lidhen me rrotullimin e Tokës janë shumë të vogla. Ato janë proporcional respektivisht me shpejtësinë këndore të Tokës dhe me katrorin e saj. Shpejtësia kendore e rrotullimit te Tokes rreth boshtit te saj është 7.27 x 10^-5 rad/s. Prandaj efektet e saj për një interval të vogël kohe eshte vështirë të maten. Për një interval të gjatë kohe ato akumulohen dhe bëhen vërtet të dukshme.

      E njëjta lëvizje e parë nga një vrojtues në sistemin që rrotullohet përshkruhet nga ekuacionet(1a,b). Ne tashmë e dimë se koordinatat x,y të lavjerrësit ndryshojnë me kohën në sistemin laboratorik dhe nga ana tjetër gjetëm si ato mund të transformohen nga ky sistem në sistemin që rrotullohet. Formulat e transformimit për situatën konkrete kanë formën e mëposhtëme:

x'  =  x cos _T t + y sin_T t              (6a),

y'  =  - x sin_T t + y cos_T t               (6b).

Duke futur në to x dhe y te përshkruara nga ekuacionet (5b) me v_o = y_o T  ne fitojmë ekuacionet:

x'(t)  =  y_o[- (_T /) sint cos_T t + cost sin_T t ]           (7a),

y'(t)  =  y_o[(_T /) sint sin_T t + cost cos_T t ]             (7b).

Ky rezultat duket akoma shumë i komplikuar dhe praktikisht i pamundur për t'u perfytyruar pa një grafik. Disa konkluzione të shpejta megjithatë mund të nxirren nga lidhjet trigonometrike: cos a  cos b = (1/2)[cos(a+b) + cos(a-b)]  etj. Atëhere:

x'(t)  =  (yo/2)[1 - (_T /)] sin(+_T)t  -  (yo/2)[1 +(_T /)] sin(-_T)t      (8a),

y'(t)  =  (yo/2)[1 - (_T /)] cos(+_T)t  +  (yo/2)[1 +(_T /)] cos(-_T)t      (8b).

Në bazë të këtij rezultati lëvizja e lavjerrësit e parë nga sistemi që rrotullohet është një superpozim i dy lëvizjeve të thjeshta, një lëvizje rrethore ne sensin orar me rreze (yo/2)[1 - (_T /)] dhe frekuencë këndore +_T,  dhe një lëvizje rrethore ne sensin orar me rreze (yo/2)[1 + (_T /)] dhe frekuencë këndore -_T . Këtu ne vëme re një zhvendosje të Dopplerit për shkak të rrotullimit. Lavjerrësi i vrojtuar nga sistemi laboratorik shfaq një frekuence të vetme këndore , ndërsa në sistemin që rrotullohet ai shfaq dy frekuenca të zhvendosura +_T  dhe -_T . Frekuenca e tij origjinale këndore  është moduluar nga frekuenca këndore  _T  e suportit që rrotullohet.

      Në një rast të veçantë kur  = _T  rezultati është shumë i thjeshtë  sepse  (8a,b) reduktohen në x'(t)  = 0   dhe   y'(t)  =  (yo/2)[1 + (_T /)] =  y_o .  Kështu në sistemin e referimit që rrotullohet lavjerrësi qëndron në prehje, sepse forca centrifugale që vepron mbi të ekuilibron komponenten e forcës gravitacionale që e tërheq lavjerrësin sipas boshtit të rrotullimit të suportit. Ky është një rast shumë i thjeshtë në rastin e satelitëve stacionar.

      Tani ju mund të "eksperimentoni" për të parë trajektoret e lavjerrësit nga të dy sistemet e referimit. Për simulim janë përdorur formulat (8a,b). Mos harroni se ky lavjerrës fillon gjithmonë nga prehja në sistemin që rrotullohet.

      Vendosni periodën e lavjerrësit  T_p në 10 s dhe periodën e rrotullimit të suportit T_t gjithashtu në 10s. Kjo do të thotë që  = _T , dhe në sistemin që rrotullohet lavjerrësi duhet të qëndrojë në prehje, ndërsa në sistemin e laboratorit ai duhet të beje një trajektore rrethore. Mbasi ekzekutohet ky rast në sistemin që rrotullohet klikoni "rivendos" dhe zgjidhni sistemin inercial (në këtë rast atë laboratorik). Ndryshimi i sistemit rivendos parametra të tjerë, kështu ju duhet të ruani vlerat e dëshiruara. I ekzekutoni ato për të parë atë çka prisni. Tani pastroni dritaren dhe bëni dy eksperimente të reja duke marrë   T_p=5s , T_t = 10s  dhe  T_p=5s , T_t = 50s . Konkluzionet nga modelet e fituara janë të qarta. Një vlerë më e vogël e raportit   T_p / T _t  na çon në një trajektore eliptike më të ngushtë në sistemin inercial të referimit dhe në një trajektore me shumë maja të mprehta në sistemin që rrotullohet. Imagjinoni të zhvendosim suportin rrotullues, në pika të ndryshme të Tokës, duke e vendosur p.sh. në Polin e Veriut dhe duke varur në të një lavjerrës shumë të gjatë, me boshtin e x-eve dhe të y-eve, të një sistemi inercial, të drejtuar drejt dy yjeve të percaktuar. Pra ne kemi një lavjerrës të Fukoit në Polin e Veriut. Neqoftese gjatësia e tij është 100 m perioda e tij do të jetë vetëm 20 s , ndërsa perioda e rrotullimit të Tokës është 86400 s. Kështu,trajektorja e tij e parë nga sistemi inercial mund të jetë një elips i stërzgjatur me vlerë të raportit të boshteve të barabartë me 4320. E njëjta trajektore e parë nga Toka do të ketë 8640 maja për 24 orë.

      Deri tani jemi marrë me lëvizjet e lavjerrësit raporti  T_p / T _t  i të cilit është më i vogël se njësia. Për këto raste forca centrifugale fillestare është më e vogël se forca fillestare që tërheq lavjerrësin drejt boshtit të rrotullimit. Për këtë arësye, lavjerrësi fillimisht "bie" drejt boshtit të rrotullimit, por shmanget prej tij nga ekzistenca e forcës centrifugale dhe e asaj të Koriolisit. Për raportin   T_p / T _t  më të madh se njësia, trajektoret e lavjerrësit në sistemin inercial janë akoma eliptike, por pamja e tyre në sistemin që rrotullohet ështe krejt e ndryshme. Ekzaminoni dy raste të tila duke marrë  T_p = 20s , T_t = 10s me dy radhë dhe  T_p=50s , T_t = 10s me tre radhë. Këtë herë forcat centrifugale fillestare tërheqin lavjerrësin drejt boshtit të rrotullimit. Lavjerresi përfundon në lëvizjen larg nga boshti i rrotullimit.

      Konkluzioni shumë i rëndësishëm që del nga studimet tona për lëvizjen e lavjerrësit është se ai na jep informacion mbi sistemet e referimit. Ai tregon se sa shumë është apo nuk është një sistem referimi inercial apo joinercial, ose në çfarë kufijsh mund të aplikohet në të ligji i dytë i Njutonit, pa bërë korigjimet për pseudoforcat. Mund të kuptohet se ne realisht nuk dimë nëse ekzistojnë sistemet inerciale të referimit,por ne vetëm mund të themi se disa sisteme referimi janë më shumë inercial se të tjerët. Në këta sisteme, më shumë inercial, ligji i dytë i Njutonit parashikon lëvizjet me korrektesë për intervale kohorë më të gjata. Për shumicën e problemeve inxhinjerike sistemet e referimit të fiksuar me Tokën janë inercialë ne shkalle te mjaftueshme. Por predhat e artilerisë janë të ndikuara nga forca e Koriolisit, sepse shpejtësia e tyre është e madhe dhe koha e fluturimit e gjatë.

      Lavjerrësi në sistemin e referimit të nxituar vertikalisht 

       Lëvizja e lavjerrësit ndikohet jo vetëm nga rrotullimi i sistemit të referimit, por dhe nga nxitimi linear i një sistemi të tillë. Le të supozojmë se sistemi (x,y) në Fig.4 është një sistem inercial. Lavjerrësi është i fiksuar në sistemin (x',y'), që nxitohet vertikalisht me nxitim konstant a . Një rast i tillë eshtë psh lëvizja e ashensorit, me veçantinë se ky i fundit nuk mund të përshpejtohet për një kohë të gjatë.  Në sistemin (x,y) Lëvizja e lavjerrësit do të përshkruhet me ndihmën e ekuacioneve (0a,b) me komponentet e përshtatëshme të forcaves  F_x  dhe  F_y.

      Relacionet ndërmjet koordinatave të lavjerrësit në të dy sistemet e referimit janë si më poshtë: (shiko Fig.4)

Këtu  y_o(0)  përshkruan pozicionin e sistemit (x',y') në lidhje me sistemin (x,y) në  t = 0. Atehere:

m Dv_x / Dt  =  T_x           (12a),       m Dv_y  / Dt  =  T_y - mg.          (12b) .

Por ekuacionet (11a,b) dhe (12a,b) ndryshojnë vetëm nga termi - ma në (11b). Prandaj lëvizja e lavjerrësit e fiksuar në sistemin (x',y') duket pothuajse si lëvizja e lavjerrësit të njëjtë të fiksuar në sistemin (x,y) përveçse në sistemin (x',y') veç forcës gravitacionale -mg  vepron dhe një pseudoforcë shtesë - m a. Kjo pseudoforcë e re përshkruan më së miri efektet e njohura inerciale. Vendosni mbi një sipërfaqe horizontale një fletë letre të lëmuar dhe mbi të një objekt të rëndë. Tërhiqni fletën e letrës në drejtimin horizontal. Neqoftese ju e tërhiqni shumë shpejt objekti nuk do të lëviz nga pozicioni që kishte në lidhje me tavolinën, ndërsa letra do të largohet. Neqoftese nxitimi i fletës së letrës është   a , në lidhje me një sistem referimi të lidhur me letrën, objekti lëviz me nxitim  - a .  Pra duket sikur një forcë   - ma është duke vepruar mbi objektin në këtë sistem referimi.