NJE HYRJE NE MEKANIKEN NJUTONIANE (p.12)

NJE HYRJE NE MEKANIKEN NJUTONIANE
nga Edward Kluk , Dickinson State University , Dickinson ND
faqja dhe appleti pershtatur ne shqip nga Bejo Duka, Universiteti i Tiranes, Tirane

RUAJTJA E IMPULSIT DHE LIGJI I TRETE I NEWTONIT

Si eshte lidhur ligji i ruajtjes se impulsit me Ligjin e trete te Njutonit
Duke supozuar konstat masen inerciale te nje trupi, forma me popullore e Ligjit te dyte Te Newtonit; m a = F mund te ndryshohet ne nje forme tjeter te futut nga vete Newtoni. Per cdo levizje per gjate nje drejteze ne mund te shkruajme

m a = m (Dv / Dt) = D(mv) / Dt = Dp / Dt , (1)

ku nje madhesi p e quajtur impuls eshte percaktuar se p = mv. Newtoni e quajti kete madhesi se sasi te levizjes. Ne fakt, ne mund te themi qe nese dy trupa kane te njejten shpejtesi v , ai me mase me te madhe mbart me shume levizje. Rjedhimisht forma me popullore e ligjit te dyte te Newton mund te shkruhet si

Dp / Dt = F . (2)

Kjo form e re del se eshte korrekte edhe per trupa me mase inerciale variabel. Vini re se te dy format jane ekuivalente vetem nese masa inerciale qendron konstante. Rjedhimisht forma e fundit eshte me e pergjitheshme.
Nese forca totale F qe vepron mbi nje trup eshte zero atehere ruhet impulsi. Kjo domethene qe impulsi qendron konstant. Por kjo tregon se shpejtesia qendron konstante vetem trupa me nase inerciale konstante. Perndryshe, nese masa ndryshon, shpejtesia gjithashtu ndryshon, per te ruajtur produktin mv konstant. Praktikisht, rastet e objekteve me mase variabel jane shume te rralla. Keshtu qe , ju mund te mendoni se nuk ja vlen te perdorim nje forme me te pergjitheshme te lidjit te dyte te Newtonit dhe ta lidhim ate me ruajtjen e momentit oer hir te disa rasteve te rralla. Por nuk eshte keshtu, dhe ju do shikoni shpejt se idea e impulsit eshte e rendesishme.
Le te perqendrohemi ne impulsin e dy objekteve pikesore qe bashkeveprojne me njeri tjetrin me forca gravitacionale. Sic dihet keto forcat terheqese kane madhesi qe jepet nga formula

F_G = G m₁ m₂ / R ² . (3)

Kjo domethene se keto dy forca kane te njejten madhesi dhe drejtime te kunderta sic eshte treguar ne Fig. 1 me poshte;

Duke futur impulsin per te dy objektet p₁ = m₁ v₁ , p₂ = m₂v₂ ne mund te shkruajme per keto objekte

Dp₁ / Dt = F₂₁ , Dp₂ / Dt = F₁₂ . (4)

Mbledhja e ketyre ekuacioneve te con ne rezultatin e meposhtem

Dp₁ / Dt + Dp₂ / Dt = D(p₁ + p₂) / Dt = F₂₁ + F₁₂ = 0, (5)

sepse forcat e gravitetit kane te njejten madhesi por drejtime te kunderta. Duke futur impulsin total te sistemit prej dy grimacash si p = p₁ + p₂, ne kemi

Dp / Dt = 0, (6)

qe domethene se impulsi total i ketij sistemi ruhet. Kjo ruajtje sigurohet nga dy fakte: Mungesa e forcave te jashteme qe veprojne prej jashte sistemit te grimcave dhe sistemi i forcave te gravitetit qe veprojne midis acting between ketyre dy grimcave ka te njejtat madhesi por drejtime te kundertas, keshtu qe shuma e tyre jep nje force zero.
       Tashme nje pyetje e pergitheshme mund te behet. Nese ne vend te gravitetit ka forca te tjera qe veprojne midis grimcave, a do te jete akoma e vertete qe keto forca te kene mmadhesi te njejte dhe drejtime te kunderta? Pergjigja mund te dale vetem prej eksperimentit. Por si te rregullojme nje eksperiment per ta provuar ate? Imagjinoni sikur dy vagona treni qe goditen perballe njeri tjetrit ne nje nje shine te drejte. Per sa kohe vagonat jane ne gjendje te mire teknike dhe nuk nuk ka ere , shpejtesite e tyre para goditjes nuk ndryshojne vecanerisht sepse forcat e ferkimit ne boshtet e tyre dhe rezistenca e ajrit jane te neglizhueshme. Kur goditen, ata veprojne mbi njeri tjetrin me nje fare forcash nese mekanizmi i frenimit te tyre nuk eshte vene ne funksion ato do te ndahen. Nese keto forca kane te njejten madhesi dhe drejtime te kunderta atehere impulsi total i te dy vagonave duhet te ruhet. Pra duke hetuar kete impuls ne mund te zbulojme nese forcat i kane vetite qe thame me lart apo jo.
       Duke perdorur kete applet prej ketij seksioni ju mund te studioni disa tipe goditjesh. Keto goditje jane te ngjashmeme goditjet e dy vagonave qe peshkruam me lart. Le te fillojme goditjet joelastike. Kjo domethene se energjia kinetike e sistemit pas goditjes do jete me e vogel se sa mbas goditjes. Energjia kinetike qe humbet ne procesin e goditjes transformohet ne nje tip tjeter energjie. Per shembull, godijet reale rreth nesh jane zakonisht me zhurme. Kjo zhurme , natyrisht, eshtee nje pjese e energjise kinetike fillestare qe eshte transformuar ne energji zanore gjate procesit te goditjes.
       Zgjidhni ne applet goditjet joelastike, vendosni shpejtesite fillestare (v_rⁱⁿ, v_bⁱⁿ) dhe raportin e masva per objektet qe goditen sic jane dhen ne reshtin e pere ne tabelen me poshtein . Nje pjese e humbjeve te energjise kinetike gjenerohet ne menyre te rastit per cdo goditje nga kompjuteri. Ky fraksion mbetet i pandryshuar per sa kohe ju operoni vetem me tri butona ne funf te appletit. Duke perdorur zgjedhjen e pajisjeve ne pjesen e siperme te appletit automatikisht ndryshon ky fraksionn. Pregatitni kronometrin tuaj dhe beni matjet e nevojeshme per llogaritjet finale (pas goditjes) te shpejtesive (v_r^f, v_b^f) te dy objekteve (i kuq dhe i zi). Ju nuk keni nevoje ti beni keto matje ne nje ekzekutim te vetem te appletit sepse me ndihmen e butonit fundor ju mund ta perseritni ekzaktesisht te njejtin eksperiment. Duke supozuar qe masa e objektit te kuq eshte 1 kg llogaritni impulsin total te sistemit para dhe pas goditjesl (pⁱⁿ, p ^f) si edhe raportin e energjise kinetike finale me energjine kinetike fillestare.

**Tabela 1**
*v_rⁱⁿ* *^m/s*	*v_bⁱⁿ* *m/s*	*masa* *raporti*	*v_r^f* *m/s*	*v_b ^f* *^m/s*	*pⁱⁿ* *kg m/s*	*p ^f* *kg m/s*	*energjia* *raporti*
*0.50*	*-0.50*	1
*0.50*	*-0.20*	3
*0.50*	*0.20*	*0.5*
*0.50*	*0.00*	*0.1*
*0.20*	*0.40*	2

Perseritni te njejtin lloj matjesh dhe llogaritjesh per 4 rreshtat e tjere te tabeles ose cdo zgjedhjeje tjeter tuaj te 4 te dhenave fillestare te zgjedhura. Nese per ndonje zgjedhje matjet jane te veshtira sepse pas goditjes objektet levizin shume ngadale ose shume shpejt, beni nje zgjedhje tjeter.
Nese matjet dhe llogaritjet tuaja janete sakta dhe korrekte ju duhet te mesoni dy gjera. Energjia kinetike per keto goditje nuk ruhet, nderkohe qe impulsi ruhet. Rezultatet tuaja, natyrisht, jane jo te sakta sepse matjet gjithmone mbartin gabime eksprimentale. Nga ruajtja e impulsit per goditjet e studiura ju mund te nxirni gjithashtu qe forcat qe veprojne midis dy objekteve qe goditen duhet te kene te njejten madhesi dhe drejtime te kunderta. Perndryshe sipas relacionit (5) impusi nuk mund te ruhet. Rjedhimisht per forcat gravitacionale dhe forcat qe nderhyjne ne goditjet e studiura ju keni rizbuluar ligjin e trete te Newtonit. Ky ligj pohon se neqoftese trupi #1 vepron mbi trupin #2 me nje fare force F₁₂ atehere trupi #2 vepron mbi trupin #1 me forcen F₂₁ e cila ka te njejten madhesi por drejtim te kundert. Mathematically kjo domethene qe F₁₂ + F₂₁ = 0. Ne mekaniken Njutoniane ky ligj eshte ne pergjithesi i vlefshemw per cdo dy trupa qe bashkeveprojne. Nese ne marrim nje bashkesi trupash me nje numer cfardo trupash pa forca te jashteme (forca nga jashte bshkesise) mbi ta, atehere shuma e te gjitha forcave te brendeshme qe veprojne midis ketyre trupave, ne baze te ligjit te trete te Njutonit, eshte zero. Rjedhimisht impulsi total i nje sistemi te tille ruhet. Keshtu per dy trupa qe mund te levizin ne vije te drejte, mund te shkruajme m₁v₁ⁱⁿ + m₂v₂ⁱⁿ = m₁v₁^f+ m₂v₂^f, (7)

ku indekset poshte 1 dhe 2 shenojne madhesite per trupat #1 and #2, kurse indekset lart in and f tregojne per madhesite e shpejtesive fillestare(para goditjes) dhe perfundimtare (pas goditjes). Nese nje sistem i tille eshte i kufizuar te levize ne plan, impulsi i tij ruhet kur perberesjax dhe perberesja y e impusit ruhen, domethene kur

m₁v_1xⁱⁿ + m₂v_2xⁱⁿ = m₁v_1x^f+ m₂v_2x^f, (8) m₁v_1yⁱⁿ + m₂v_2yⁱⁿ = m₁v_1y^f+ m₂v_2y^f . (9)

Nje dicka interesante per kushtet e ruajtjes se impulsit per te dy rastet e goditjeve vijedrejta (7) dhe goditjeve ne plan (8),(9) eshte se ato nuk na japin nje informacion te plote rreth shpejtesive perfundimtare te objekteve pas goditjes. Nga pikpamja matematike kushtet (7), bese shpejtesite fillestare dhe masat jane te njohura, paraqesin nje ekuavion te vetem me dy te panjohura qe jane shpejtesite perfundimtare. Prandaj, per te gjetur shpejtesite perfundimtare ne duhet te kerkojme per nje kusht tjeter fizik qe lidh shpejtesite perfundimtare me ato fillestare dhe me masat. Per godijet planare ne kemi nevoje per dy kushte te tilla shtese.

Goditjet absolutisht joelastike
Nese pas goditjes te dy vagonat e pershkruar me lart ngjiten me njeri tjetrin dhe udhetojne me te njejten shpejtesi v ^f, atehere kushti shtese eshte v₁^f = v₂^f= v^f. Duke futur kete kusht ne kushtin e ruajtes se impulsit (7) ne marrim

v^f= (m₁v₁ⁱⁿ + m₂v₂ⁱⁿ) / (m₁ + m₂). (10)

Ne e dime tashme prej "eksperimentit" qe energjia kinetike nuk ka nevoje te ruhet gjate procesit te goditjes. Le te gjejme tani se sa pjese e saj humbet ne kete tip goditjesh:

K = K_in - K_f = (1/2){m₁(v₁ⁱⁿ)²+ m₂(v₂ⁱⁿ)² - (m₁ + m₂)(v^f)²} = m₁ m₂(v₁ⁱⁿ - v₂ⁱⁿ)² / {2(m₁ + m₂)}. (11)

Per te fituar rezultatin e fundit v^f   eshte zevendesuar me anen e djathte te (10) dhe jane kryer disa veprime algjebrike.
      Duke pare rezultatin final per K ne kuptojme qe ai nuk eshte asnjehere baraz me zero. Keshtu per kete tip goditjesh dicka nga energjia kinetike humbet. Duke konsideruar te gjitha llojet e mundeshme te goditjes ne vije te drejte te dy trupave me masa dhe shpesjtesi fillestare te fiksuara ne gjejme qe per kete rast nje sasi maksimale e energjise kinetike humbet. Pikerisht per kete nje lloj goditjeje e dy trupave qe levizin perfundimisht se bashku eshte quajtur godije absolutisht joelestike. Vini re qe masat e te dy trupave qe goditen jane identike(m₁ = m₂ = m) dhe shpejtesite e tyre jane ekzaktesisht te kunderta (v₁ⁱⁿ = - v₂ⁱⁿ = vⁱⁿ) prandaj ne procesin e goditjes e gjithe energjia kinetike humbet dhe te dy trupat ndalojne. Me te vertete, K = m(vⁱⁿ)² e cila eshte ekzaktesisht energjia kinetike totale fillestare e sistemit.
      Tani duke perdorur appletin studioni goditjest absolutisht joelastike te pershkruara ne tabelen e meposhtemet. Gjeni "eksperimentalisht" vlerat e shpejtesive finale, llogaritni energjite kinetike fillestare dhe finale duke supozuar qe masa me vogel eshte 1 kg, dhe te dyja, "eksperimentalisht" K dhe teorikisht K^th vlerat e energjise kinetike te humbur.   The K^thduhet te llogariten nga formula (11) .

**Table 2**
*v_rⁱⁿ* *^m/s*	*v_bⁱⁿ* *m/s*	*mass* *ratio*	*Kⁱⁿ* J	*v ^f* *^m/s*	*K^f* J	K J	*K^th* J	*pⁱⁿ* *kg m/s*	*p ^f* *kg m/s*
*0.50*	*-0.50*	1
*0.50*	*0.00*	1
*0.30*	-*0.50*	2
*0.50*	*0.20*	*0.5*
*0.20*	*0.50*	2

Goditjet absolutisht elastike
Ne se ne nje proces goditjeje energjia kinetike ruhet, kjo goditje quhet absolutisht elastike. Atehere duke perdorur ruajtjen e impulsit (7) dhe te ergjise kinetike ne mund te parashikojme(llogaritim) shpejtesite finale te trupave qe goditen. Nxjerja e formules per keto shpejtesi finale nuk eshte e veshtire por natyrisht ka veprime. Duke i kryer keto veprime ne menyren me te pershtateshme mund te thjeshtohen hapat. Fillojme me te dy ligjet e ruajtjes: m₁(v₁ⁱⁿ)² + m₂(v₂ⁱⁿ)² = m₁(v₁^f)² + m₂(v₂^f)² m₁v₁ⁱⁿ + m₂v₂ⁱⁿ = m₁v₁^f + m₂v₂^f .

Vini re qe relacioni i pare eshte ligji i ruajtjes se energjise, qe per thjeshtesi, eshte shumezuar me 2. Duke i rregulluar keto relacione ne mund te marrim

m₁{(v₁ⁱⁿ)² - (v₁^f)²} = m₂{(v₂^f)² -(v₂ⁱⁿ)²} m₁{v₁ⁱⁿ - v₁^f} = m₂{v₂^f - v₂ⁱⁿ}.

Duke pjestuar te parin e ketyre relacioneve me relacionin e dyte dhe duke perdorur identitetin e njohur a² - b² = (a - b)(a + b) qe vlen per cdo a dhe b ne marrim

v₁ⁱⁿ + v₁^f = v₂^f + v₂ⁱⁿ.

Duke i rregulluar edhe njehere relacionin e ruajtjes se impulsit dhe kete relacion te fundit mund te shkruajme

m₁v₁^f + m₂v₂^f = m₁v₁ⁱⁿ + m₂v₂ⁱⁿ (13) v₁^{f -}v₂^f = v₂^in
-v₁ⁱⁿ . (14)

Ky perben nje sistem ekuacionesh linear per v₁^f dhe v₂^f qe mund te zgjidhet lehte. Duke shumezuar te dytin e ketyre ekuacionev me m₂ dhe duke ja mbledhur ate ekuacionit te pare merret zgjidhja per v₁^f

(m₁ + m₂) v₁^f = 2 m₂ v₂ⁱⁿ + (m₁ - m₂) v₁ⁱⁿ

v₁^f = {2 m₂ v₂ⁱⁿ + (m₁ - m₂) v₁ⁱⁿ} / (m₁ + m₂) . (15)

Zgjidhja per v₂^f mund te merret ne menyre te ngjashme duke shumezuar ekuacionin (14) me m₁ dhe duke zbrituar ate nga ekuacioni (13). Megjithate, kjo eshte nje rruge e thjeshte dhe instruktive per te gjetur kete zgjidhje. Vini re qe ekuacionet (13) dhe (14) kane nje simetri interesante. Nese indekset poshte 1 dhe 2 shkembehen, keto ekuacione mbeten ekuivalente me ato fillestare. Kjo domethene qe bashkesia e re e ekuacioneve mund te rregullohet me ane te veprimeve algjebrike ne te njejtav veprimeve per te qene identik me ate te fillimit. Provoni te tregoni kete. Prandaj, zgjidhjet duhet te kene te njejten lloj simetrie. Rjedhimisht, per te perftuar zgjidhjen per v₂^f mjafton te shkembejme indekset poshte 1 dhe 2 ne (15) dhe te marrim

v₂^f = {2 m₁ v₁ⁱⁿ + (m₂ - m₁) v₂ⁱⁿ} / (m₁ + m₂) . (16)

Keto rezultate te pergjithshme nuk duken shume te thjeshta, por prej tyre mund te nxirren konkluzione shume te thjeshta dhe domethenese per raste specifike. Nese masat e te dy trupave jane te njejta (m₁ = m₂) atehere cdo goditje absolutisht elastike con ne shkembimin e shpejtesive midis trupave sepse zgjidhjet (15) dhe (16) reduktohen ne v₁^f = v₂ⁱⁿ dhe v₂^f = v₁ⁱⁿ . Perdorni appletin per te studiuar pak nga keto raste kur raporti i masave eshte baraz me 1 dhe shpejtesite jane si ti doni. Por mos harroni qe ta ekzekutoni te pakten ne nje rast me njeren shpejtesi baraz me zero. Nje rast tjeter specifik eshte pak me i komplikuar. Le te supozojme se masa e trupit te dyte eshte shume e madhe krahasuar me masen e trupit te pare, dhe se trupi i dyte qendron ne prehje. Ne kete rast raporti (m₁ - m₂) / (m₁ + m₂) eshte praktikisht baraz me -1. Rjedhimisht v₁^f = - v₁ⁱⁿ dhe v₂^f = 0 . Ky eshte nje model perfekt i goditjes elastike te nje trupi me nje mur te qendrueshem. Perdorni perser appletin per te studiuar kete rast goditjesh si edhe rastin kur muri leviz. Perfytyroni diferencat nese muri leviz drejt trupit dhe qe i largohet trupit.
Mese fundi studioni rastet me me sperndarje masash te treguara ne Tabelen 3.

**Tabela 3**
*v_rⁱⁿ* *^m/s*	*v_bⁱⁿ* *m/s*	*masa* *raporti*	*Kⁱⁿ* J	*v_r ^f* *^m/s*	*v_b ^f* *^m/s*	*K^f* J	*pⁱⁿ* *kg m/s*	*p ^f* *kg m/s*
*0.50*	*-0.50*	2
*0.50*	*0.00*	*0.3*
*0.30*	-*0.50*	2
*0.50*	*0.20*	*0.5*
*0.20*	*0.50*	2

Goditjet joelastike
Per goditjet joelastike nuk ruhet energjia kinetike dhe duhet zevendesuar relacioni i ruajtjes se saj me nje relacion qe pershkruan pakesimin e energjise. Ky relacion mund te shkruhet ne kete forme K^f = r Kⁱⁿ ,

ku r eshte koeficienti i pakesimit qe eshte i kufizuar nga mosbarizimi i dyfishte 0 < r < 1 dhe po ashtu i kufizuar nga shpejtesite fillestare dhe raporti i masave. Jane te mundura zgjidhje analitike per shpejtesite finale, por ato jane shume te komplikuara se sa ne rastin e goditjes absolutisht elastike.

Disa verrejtje mbi goditjet planare
Per te gjitha llojet e goditjeve planare parimi i ruajtjes se impulsit pershkruhet nga nje bashkesi relacionesh (8) dhe (9). Kur kemi te bejme goditje absolutisht joelastike ne mund ta perdorim kete bashkesi per te gjetur perberest e shpejtesise finale te te dy objekteve meqenese pas goditjes ata levizin se bashku. Situata per goditjet absolutisht elastike eshte me e komplikuar. Ruajtja e energjise kinetike shton vetem nje relacion. Por jane kater te panjohura per tu gjetur. Keshtu qe duhet te shtojme edhe nje relacion me shume per perbereset e shpejtesive fillestare dhe finale. Per te gjetur kater te panjohurat duhet te kemi kater ekuacione. Por ekuacioni i katert mund te shtohet vetem nese kemi ndonje informacion shtese mbi natyren e goditjes.

Vleresimi
Nese :

rezultatet tuaja te ruajtura ne tabelat 1, 2 and 3 jane konsistente me parashikimet teorike
ju do kuptoni relacionin midis ligjit te trete te Newtonit dhe ruajtjes se impulsit
ju mund te nxirrni relacione (15) dhe (16)
mund te tregoni qe shkembimi i indekseve te poshtem 1 dhe 2 nuk i ndryshon relacionet (13) dhe (14)
ju kuptoni qe dy goditjet e fundi te pershkruara ne tabelen 2 jane identike, dhe e njejta gje eshte e vertete edhe per dy goditjet e fundit ne tabelen 3

objektivat e ketij mesimi jane arritur plotesisht. Nese ju keni dyshime perpiquni ta lexoni me shume here ate dhe me te perqendruar, por mos u perpiqni ta memorizoni kete tekstt. Fizika kerkon jo ta memorizoni ate, por ta kuptoni ate.

Last update: Sept 1, 1997
Copyright (c) 2000 Edward Kluk